最近有朋友在后台私信留言，让帮忙看看运载火箭一级飞行阶段的弹道倾角曲线是否正常，如下面的图所示。

从上面的图可以看到运载火箭起飞后不久，弹道倾角先是减小，经过一段时间后，又逐渐变大。弹道倾角减小是符合物理规律的，因为火箭点火升空几秒后就开始以负攻角转弯，负攻角转弯结束后，火箭以零攻角进行重力转弯，弹道倾角依然是减小的，不应该出现逐渐变大的情形，应该是这位朋友在编写代码时某个地方处理不当，才导致了错误的结果。

作者之前在公众号文章《四级固体运载火箭弹道设计及500t推力固体火箭发动机于弹道设计实操》里面介绍了运载火箭一级飞行阶段程序角指令的设计方法，这里再重新将其列出，供未曾阅读这篇文章的读者用。

运载火箭一级飞行弹道分为三个阶段：

(a)垂直飞行段(0~t11)，运载火箭发惯系下的俯仰角一直保持为90°；

(b)负攻角转弯段(t11~t12)，从时刻t11开始，运载火箭以特定函数形式的负攻角alpha(t)进行转弯，直到运载火箭的马赫数达到0.7~0.8才结束，t11和alpha(t)的数学表达式分别为

                

        在式(1)种，N01为运载火箭的推重比；在式(2)中，alpha_max为运载火箭负攻角转弯段攻角绝对值的最大值，t12为运载火箭的速度达到0.7/0.8马赫的时刻。

(c)零攻角重力转弯段(t12~t13)，这段时间运载火箭以t12时刻接近于零的攻角飞行，零攻角可以减小气动载荷和气动干扰，t13为一级火箭发动机关机的时刻。

介绍完运载火箭一级俯仰程序角的设计方法，下面作者尝试从运载火箭受力的角度分析一下弹道倾角的变化规律。

在上图中，V表示运载火箭的速度，Pf表示发动机推力，Fx_air和Fy_air分别表示运载火箭所受到的气动阻力和气动升力，G表示运载火箭所受到的地球引力，alpha表示运载火箭的攻角，负攻角表明运载火箭的箭体纵轴在速度矢量的下方，theta表示运载火箭的弹道倾角。

将运载火箭所受到的力在沿着速度V和垂直于速度V的方向进行分解，可得下面的式子

       

式(3)中的第一个式子描述了运载火箭速度模值的变化规律，一般来说运载火箭的推力非常之巨大，足以抵消飞行过程中受到的气动阻力Fx_air和地球引力分量G*sin(theta)的影响，使得运载火箭的速度模值快速增加变大。

式(3)中的第二个式子描述了运载火箭速度矢量方向的变化规律，即弹道倾角的变化规律。由于发动机的巨大推力，即使攻角alpha的数值非常之小，但是-Pf*sin(|alpha|)的值也能够抵消运载火箭所受到的气动升力作用，再加上地球引力分量-Gcos(theta)的影响，运载火箭弹道倾角的变化率theta_dot是负的，即弹道倾角是从发射时刻的初始值90°逐渐减小的。

随着飞行的继续，运载火箭的速度达到0.7/0.8马赫，再往后就是音速区域了，跨音速区间运载火箭箭体头部附近会有激波产生，箭体阻力急剧增加，为了降低气动载荷和气动干扰的影响，在设计弹道时会让火箭在高亚音速阶段的攻角就回到零附近，比如在0.7马赫时运载火箭的攻角基本为0°了，此时运载火箭的受力情况如下图所示。

由于攻角alpha近似为0°，故运载火箭的受力方程可以简化为

                 

从式(4)可以看到，在零攻角重力转弯阶段，运载火箭发动机的推力全部用于改变速度模值的大小，而不用于改变速度矢量的方向。式(4)里面的第二个方程表明在零攻角重力转弯阶段，运载火箭弹道倾角的变化规律theta_dot取决于运载火箭受到的气动升力Fy_air和地球引力的分量Gcos(theta)之间的差值。

还是以之前公众号文章《四级固体运载火箭弹道设计及500t推力固体火箭发动机于弹道设计实操》的数据来分析，在运载火箭速度达到0.7马赫时的相关状态参数为：速度V=230.643m/s，飞行高度H=3438.518m，运载火箭质量M= 215883.49kg，气动升力Fy_air=2201.13N，弹道倾角theta=66.475°，将这些参数值代入式(4)中的第二个方程，可以得到气动升力2201.13N远远小于地球引力的分量8.4504e+05N，差了两个数量级，运载火箭弹道倾角的变化率依然是负数，即弹道倾角还是在减小，不可能出现弹道倾角逐渐增大的情况。

公众号文章《四级固体运载火箭弹道设计及500t推力固体火箭发动机于弹道设计实操》里面的弹道倾角曲线如下图所示。

好了，今天的交流就到这，下期再聊。

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