摘要—通信感知一体化 (ISAC) 系统被认为是第六代 (6G) 网络的关键组成部分之一。ISAC 的一个具有挑战性的课题是在相同的时-频-空资源上设计一个能结合通信和感知功能的单一波形，并允许通过部分或完全的硬件共享来调整两者的性能。本文提出了一种双域波形设计方法，该方法在频时 (FT) 域上，将传统的正交频分复用 (OFDM) 信号与一个特意在延迟-多普勒域设计的感知信号进行叠加。通过相对于 OFDM 信号对感知信号进行适当的功率缩减，有可能突破传统多载波系统的监管带宽限制，以提高感知性能，同时使通信性能基本上不受影响。数值和实验结果证明了该双域波形的有效性，尽管用于感知的信号功率相比于用于通信的信号功率有至少 30 dB 的削减。在延迟估计的克拉美-罗界 (CRB) 方面（高达 20 dB），该双域 ISAC 波形的性能优于 OFDM 和正交时频空 (OTFS)，这得益于其更高的分辨率，并且对可达速率的性能损失可以忽略不计。

索引术语—通信感知一体化，6G，波形设计，双域，实验测试平台

在文献 [22] 中，作者们讨论了将 5G OFDM 用于延迟/多普勒估计的实际问题，例如处理链的复杂性、自干扰等。他们通过实验测量，证明了 OFDM 距离/多普勒成像的可行性。文献 [23] 取得了一项飞跃，其中作者们提出用感知导频（即雷达子载波）来填充空的通信子载波。雷达子载波的功率和相位通过最小化单个目标的延迟和多普勒估计的克拉美-罗界 (CRB) 来进行优化，同时限制了峰均功率比。文献 [24] 的作者们使用 CRB 作为成本函数，通过对通信符号进行适当的正交幅度星座图扩展来将其最小化。文献 [25] 中探讨了一种不同但实用的波形设计方法，作者们考虑了一种虚拟波形设计，包括选择合适的感知前导码在时间上（在通信帧内）的位置。通信与感知性能之间的权衡通过一个优化问题得以展示，该问题旨在在一个相干处理间隔 (CPI) 内找到感知前导码的最优数量和位置。另一个在使用优化 OFDM 进行波形设计方面的相关贡献在文献 [26] 中。在这里，作者们推导了多个目标的延迟和多普勒 CRB，并进行了最优的时间/频率/功率资源分配。作者们指出了所生成波形的模糊函数问题，其旁瓣可能会遮蔽在优化过程中未知的弱目标。

在上述所有研究工作中，延迟/距离和多普勒/速度估计的感知精度已知分别受到所分配的带宽和信号突发持续时间的限制。前者由监管限制设定 [31]。例如，基于 OFDM 的 5G NR 毫米波 (28 GHz) 标准采用 400 MHz 的连续频谱（通过载波聚合可达 1600 MHz），尽管潜在可用带宽为 3 GHz [32]。此外，在实际系统中，接收机 (Rx) 处理是基于离散傅里叶变换 (DFT) 的，因此克拉美-罗界 (CRBs) 很少能达到。在如此情况下，克拉美-罗界并非唯一需要考虑的衡量指标，而模糊函数（ambiguity function）决定了实际的分辨率能力。另外，在时频 (FT) 上以不相等的功率分配 OFDM 资源，并且占用因子可能 < 100%，会导致模糊函数中出现高旁瓣，并有不可忽略的能量扩散到主瓣之外。如文献 [26] 中那样，通过约束模糊函数的积分旁瓣电平来进行 OFDM 波形设计，会导致复杂的优化问题，从而增加了计算负担，这呼唤着简单而有效的方法。

B. Contributions

在此，我们提出了一种用于基站 (BS) 单基站通信感知一体化 (ISAC) 设置的新型波形。该波形是在时频 (FT) 域中将用于通信的传统 OFDM 信号与一个专用的感知信号进行叠加。后者是在延迟多普勒 (DD) 域中设计的单个脉冲，该脉冲映射为 FT 域中的二维正弦信号。尽管如此，任何通用的感知信号都可以被考虑，例如，一个二维 chirp 信号。如果采用二维正弦信号进行感知，这种方法可以限制延迟并最小化计算复杂度。感知信号经过功率优化，以避免干扰用户设备 (UE) 端的传统 OFDM 信号。我们提出的双域方法的优势有三方面：

• (i) 通过对通信和（主要是）感知信号进行适当的功率分配，有可能突破监管带宽限制，从而提高 ISAC 系统的延迟/距离分辨率，而可达速率几乎不受影响；
• (ii) 采用二维正弦信号进行感知，由于完全覆盖了 FT 资源（与传统 OFDM 不同），模糊函数的旁瓣极小；
• (iii) 所提出的方法不需要在 UE 端进行额外的处理，以及
• (iv) 目标检测仅需要在 BS (感知接收机 Rx) 端进行一次 IDFT-DFT 对操作。

本文的新颖贡献和结果可总结如下：

• 我们提出并设计了一种 ISAC 波形，该波形将传统的 OFDM 信号与一个经过适当功率缩放并在 FT 域叠加的专用感知信号相结合。通过适当的功率分配（比 OFDM 至少低 30 dB），感知信号可以突破监管频谱的限制，以提高 ISAC 系统的距离分辨率，同时满足邻道泄漏比 (adjacent channel leakage ratio，ACLR) 的约束 [31]。我们在感知和通信约束下构建了一个凸功率分配问题，该问题在实际系统中易于求解。

• 我们在延迟和多普勒估计的克拉美-罗界 (CRB)、模糊函数的主瓣与总能量比 (MTER) 以及可达速率方面，比较了双域、OFDM 和 OTFS 的 ISAC 波形性能。MTER 衡量了我们提出的波形所带来的分辨率提升以及旁瓣中的能量。结果凸显出，所提出的双域 ISAC 波形可以在近中程范围（在 30 GHz 载波频率下，距离可达 100 – 120 米）有效使用，其正确检测概率 (PCD) 高于 90%。此外，当感知信号占用的带宽是 OFDM/OTFS 的 5 倍（或更多）时，与 OFDM 和 OTFS 相比，双域 ISAC 系统在 CRB（在单目标假设下计算）和可达速率方面都表现出可忽略不计的性能损失，同时将距离分辨率提高了最多 5 倍。此外，在双目标情况下的性能表明，在某些条件下，双域波形在延迟估计上的 CRB 甚至低于 OTFS。

• 我们通过使用现成的毫米波通信收发器进行的专用实验测试，展示了所提出的 ISAC 系统的能力，显示了其在实际系统中的应用前景。

I. TIME-VARIANT SCENARIO

让我们考虑图 1 中描绘的通信感知一体化 (ISAC) 系统，其中 ISAC 节点，即基站 (BS)，配备了两个天线阵列，每个阵列有 $L$ 个天线单元，一个用作发射机 (Tx)，另一个用作感知接收机 (Rx) (全双工操作)。天线数量 $L$ 决定了发射机和接收机的波束赋形增益以及感知空间分辨率。尽管基站可以合成任何模拟或数字预编码器 [9]，但此处的分析独立于具体的空间预编码器。因此，为简单起见，我们考虑两个模拟阵列。通过发射阵列，基站在服务 $K$ 个单天线用户设备 (UEs) 的同时，合成一个 ISAC 波束来估计 $Q$ 个目标的延迟和多普勒。不失一般性地，我们假设 (i) 这 $Q$ 个目标不包含这 $K$ 个 UE [33]，以及 (ii) 这 $K$ 个 UE 被调度在频时 (FT) 资源网格的不相交部分上。

在高移动性场景中，例如车载场景，基站与第 $k$ 个 UE 之间的毫米波/亚太赫兹 (mmWave/sub-THz) 通信信道是空间稀疏和双选择性的（spatially sparse and doubly selective），其特点是由于 UE 的运动导致严重的路径损耗和大的多普勒频移。与第 $k$ 个 UE 在延迟-时间 (delay-time，DT) 域的通信信道被建模为 $U_k$ 条路径的总和 [34]

$$h_k^{\text{DT}}(t,\tau )=\sum _{u=1}^{U_k}{\alpha }_{u,k}{e}^{j2\pi {\nu }_{u,k}t}g(\tau -{\tau }_{u,k}){\zeta }_{u,k}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中：(i) 每条路径的幅度为 ${\alpha }_{u,k}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_{u,k}^2)$，其中 ${\sigma }_{u,k}^2\propto (f_0{R}_{u,k}{)}^{-2}$ (对于距离 $R_{u,k}$ 和载波频率 $f_0$)；(ii) ${\nu }_{u,k}$ 是第 $u$ 条路径的多普勒频移；(iii) $g(t)$ 表示脉冲成形和匹配滤波器级联的时间响应；(iv) ${\tau }_k=R_{u,k}/c$ 是路径延迟；(v) ${\zeta }_{u,k}$ 是第 $k$ 个 UE 的第 $u$ 条路径的波束赋形增益。

请注意，${\tau }_{1,k}=R_k/v$ 和 ${\nu }_{1,k}=f_0{V}_k/v$ 与第 $k$ 个目标的距离 $R_k$ 和径向速度 $V_k$ 成正比，其中 $v$ 是光速。

类似地，感知信道由基站 (BS) 与环境中所有 $Q$ 个目标之间的双程路径组成

$$h_{\text{sen}}^{\text{DT}}(t,\tau )=\sum _{q=1}^Q{\beta }_q{e}^{j2\pi {\nu }_{q}t}g(\tau -{\tau }_q){\zeta }_q\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中
$${\beta }_q=\underset{{\sigma }_q}{\underbrace{\sqrt{\frac{c^2{G}_{\text{ant}}({\vartheta }_q)G_{\text{ant}}({\vartheta }_q)}{f_0^2(4\pi R_q{)}^4}}}}{\Gamma }_q{e}^{j({\delta }_q-2\pi f_0{\tau }_q^0)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
是第 $q$ 个目标的散射幅度，${\tau }_q=2R_q/v$ 和 ${\nu }_q=2f_0{V}_q/v$ 分别是第 $q$ 个目标的双程延迟和多普勒频移，${\zeta }_q$ 是感知系统的波束赋形增益。该散射幅度模型遵循雷达方程 [35]，其中 $G_{\text{ant}}({\vartheta }_q)$ 表示单个基站天线在第 $q$ 个目标方向 ${\vartheta }_q$ 上的功率增益，${\tau }_q^0$ 表示在 $t=0$ 时（即相干处理间隔 CPI 的开始时刻）从第 $q$ 个目标返回的双程延迟，${\delta }_q\sim \mathcal{U}[0,2\pi )$ 是一个额外的随机相位项，模拟了与发射/接收电路以及目标相关的未知相位项。在 ${\sigma }_q$ 是瑞利分布的假设下，${\beta }_q\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_q^2)$。请注意，我们假设信道只包含基站和每个目标之间的双程视距 (LOS) 路径。多次反射的特点是具有更高的路径损耗 (通常与 $R^{-6}$ 成正比)，因此不予考虑。

感知信道 (2) 可以通过对延迟和时间维度进行傅里叶变换，进一步在频时 (frequency-time，FT) 域和延迟-多普勒 (delay-Doppler，DD) 域中表示 [36]，分别为

$$h_{\text{sen}}^{\text{FT}}(t,f)=\sum _{q=1}^Q{\beta }_q{e}^{j2\pi {\nu }_{q}t}G(f)e^{-j2\pi f{\tau }_q}{\zeta }_q\text{\hspace{1em}(4)}$$$$h_{\text{sen}}^{\text{DD}}(\nu ,\tau )=\sum _{q=1}^Q{\beta }_q\delta (\nu -{\nu }_q)g(\tau -{\tau }_q){\zeta }_q\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $G(f)$ 是 $g(t)$ 的傅里叶变换。同样的变换也可以应用于通信信道 (1)。

III. TRANSMITTED ISAC WAVEFORM

发射的通信感知一体化 (ISAC) 波形由两种信号的叠加组成，即一个在频时 (FT) 域设计的通信信号，和一个在延迟多普勒 (DD) 域设计的感知信号，如图 2 中所示的通信和感知资源分配示例。所提出的 ISAC 波形利用了一个资源池，在频率/延迟域有 $M$ 个资源，在时间/多普勒域有 $N$ 个资源。在 FT 域中，这组资源可以用网格表示为

Λ FT = { m Δ f , n T ∣ m = − M 2 , … , M 2 − 1 , n = − N 2 , … , N 2 − 1 } (6) \Lambda^{\text{FT}} = \{m\Delta f, nT \mid m = -\frac{M}{2}, \dots, \frac{M}{2}-1, n = -\frac{N}{2}, \dots, \frac{N}{2}-1 \} \tag{6} ΛFT={mΔf,nT∣m=−2M​,…,2M​−1,n=−2N​,…,2N​−1}(6)

其中 $\Delta f$ 表示子载波间隔， $T$ 表示一个 OFDM 符号的持续时间，包括循环前缀，即 $T=T^{\prime }+T_{cp}$，其中 $\Delta f=1/T^{\prime }$。相应地，DD 域中的资源集可以用网格表示为

Λ DD = { l Δ τ , p Δ ν ∣ l = 0 , … , M − 1 , p = − N 2 , … , N 2 − 1 } (7) \Lambda^{\text{DD}} = \{l\Delta\tau, p\Delta\nu \mid l = 0, \dots, M-1, p = -\frac{N}{2}, \dots, \frac{N}{2}-1 \} \tag{7} ΛDD={lΔτ,pΔν∣l=0,…,M−1,p=−2N​,…,2N​−1}(7)

其中 $\Delta \tau =1/(M\Delta f)$ 和 $\Delta \nu =1/(NT)$ 分别表示延迟和多普勒分辨率，它们分别取决于系统带宽 $(M\Delta f)$ 和下行链路突发持续时间 $(NT)$。相应的距离和速度分辨率为：

$$\Delta R=\frac{c}{2}\Delta \tau ,\Delta V=\frac{c}{2f_0}\Delta \nu .\text{\hspace{1em}(8)}$$

发射的 FT 域 ISAC 信号矩阵设计如下：

$${\mathbf{X}}^{\text{FT}}={\mathbf{\Sigma }}_{\text{com}}^{\text{FT}}\odot {\mathbf{S}}_{\text{com}}^{\text{FT}}+{\sigma }_{\text{sen}}{\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中 ${\mathbf{S}}_{\text{com}}^{\text{FT}}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$ 是 FT 通信信号矩阵，${\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$ 是 FT 感知信号矩阵，${\mathbf{\Sigma }}_{\text{com}}^{\text{FT}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{M\times N}$ 定义了通信信号的分配功率的平方根，而 ${\sigma }_{\text{sen}}^{\text{FT}}\ge 0$ 是感知信号的幅度。由此产生的通信和感知信号的带宽积分功率分别为：

$$P_{\text{com}}^{\text{FT}}=\frac{\Vert {\mathbf{\Sigma }}_{\text{com}}^{\text{FT}}{\Vert }_F^2}{N},P_{\text{sen}}^{\text{FT}}=M({\sigma }_{\text{sen}}^{\text{FT}}{)}^2.\text{\hspace{1em}(10)}$$

按照惯例，发射信号 ${\mathbf{X}}^{\text{FT}}$ 经过一个 $M$ 点的 IFFT，并在传输前附加一个持续时间为 $T_{cp}$ 的循环前缀 (CP)。所提出波形的一个显著特点是，感知处理，即目标检测、位置和速度估计，是在延迟多普勒 (DD) 域中通过 IDFT-DFT 变换 ${\mathbf{X}}^{\text{DD}}={\mathbf{F}}_M^H{\mathbf{X}}^{\text{FT}}{\mathbf{F}}_N$ 来执行的，其中 ${\mathbf{F}}_M\in {\mathbb{C}}^{M\times M}$ 和 ${\mathbf{F}}_N\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$ 是 DFT 矩阵，满足 $\Vert {\mathbf{F}}_M{\Vert }_F=\sqrt{M}$ 和 $\Vert {\mathbf{F}}_N{\Vert }_F=\sqrt{N}$。当 FT 域中的感知信号是一个占据所有 $MN$ 个资源的二维正弦信号时 (详见章节 III-B)，其对应的 DD 映射是一个冲激，其幅度被放大了 $\sqrt{MN}$ 倍，即

$$({\sigma }_{\text{sen}}^{\text{DD}}{)}^2=({\sigma }_{\text{sen}}^{\text{FT}}{)}^{2}MN\text{\hspace{1em}(11)}$$

并且通信信号被视为影响感知处理的干扰，其在每个 DD 单元上的平均功率为

$$({\sigma }_{\text{com}}^{\text{DD}}{)}^2=\frac{\Vert {\mathbf{\Sigma }}_{\text{com}}^{\text{FT}}{\Vert }_F^2}{MN}.\text{\hspace{1em}(12)}$$

对通信和感知功率进行适当的调整，可以 (i) 服务预期的 UE，而 UE 端不受来自感知信号的干扰；以及 (ii) 估计每个目标的延迟和多普勒，而不受来自通信信号的干扰，从而提高延迟估计的分辨率，具体细节如下文所述。

III. TRANSMITTED ISAC WAVEFORM

A. Communication Signal

对于第 $k$ 个 UE，BS 分配一部分 FT 资源

Λ k FT = { m Δ f , n T } ⊆ Λ FT (13) \Lambda_k^{\text{FT}} = \{m\Delta f, nT\} \subseteq \Lambda^{\text{FT}} \tag{13} ΛkFT​={mΔf,nT}⊆ΛFT(13)

其中 ${\Lambda }_k^{\text{FT}}\cap {\Lambda }_l^{\text{FT}}=\varnothing$，对于 $k\ne l$ 以避免多用户干扰。为了本工作的目的，我们还定义了被整个通信信号有效占据的 FT 资源网格为：

$${\Lambda }_{\text{com}}^{\text{FT}}=\text{cvxhull}\left(\bigcup _k{\Lambda }_k^{\text{FT}}\right)\text{\hspace{1em}(14)}$$

其中 $\text{cvxhull}(.)$ 是 $K$ 个已分配集合的并集的离散凸包，如图 2 所示。在 ${\Lambda }_{\text{com}}^{\text{FT}}$ 中的可用通信资源为 $M_{\text{com}}N$，其中 $M_{\text{com}}$ 是带宽规定所允许的最大子载波数，例如，在 5G NR 频率范围 (FR) 2 中，对于 400 MHz 频谱和 $\Delta f=120$ kHz，为 3300 个子载波。通常情况下，$M_{\text{com}}<M$，以便有 20% 到 50% 的余量，如章节 I 中所述。在 ${\Lambda }_{\text{com}}^{\text{FT}}$ 内，为 OFDM 分配的资源比例定义为

$$\eta =\frac{|{\bigcup }_k{\Lambda }_k^{\text{FT}}|}{|{\Lambda }_{\text{com}}^{\text{FT}}|}=\frac{|{\bigcup }_k{\Lambda }_k^{\text{FT}}|}{M_{\text{com}}N},\text{\hspace{1em}(15)}$$

用以调节通信的带内已分配资源的稀疏性。第 $k$ 个 UE 在 FT 域中的通信信号建模为：

$$[{\mathbf{S}}_k^{\text{FT}}{]}_{m,n}=\{\begin{array}{ll}{a}_k[m,n]& \text{if }(m,n)\in {\Lambda }_k^{\text{FT}}\\ 0& \text{otherwise},\end{array}\text{\hspace{1em}(16)}$$

其中 ${\mathbf{S}}_k^{\text{FT}}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$ 且 $a_k[m,n]$ 是从一个 QAM 星座图中抽取的随机信息符号，满足 $E[a_k[m,n]a_l^{\ast }[m,n]]={\delta }_{k-l}$。因此，总的通信信号可以表示为

$${\mathbf{S}}_{\text{com}}^{\text{FT}}=\sum _{k=1}^K{\mathbf{S}}_k^{\text{FT}}.\text{\hspace{1em}(17)}$$

---

¹ 二维正弦信号不是感知信号的唯一选择；在 BS 端的任何其他已知波形（例如，二维 Zadoff-Chu 序列，二维伪噪声序列）都可以被考虑，并且在延迟和多普勒估计方面表现出相似的性能。对于非正弦信号，(11) 式可以通过一个通用的二维匹配滤波器（即二维相关）来实现，而不是通过 IDFT-DFT 对。

B. Sensing Signa

所提出的感知波形是 DD 域中的一个冲激（或冲激的组合），位于 $(l_i,p_i)$：

$$[{\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}{]}_{l,p}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }l=l_i,p=p_i\\ 0& \text{otherwise},\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$

其中 ${\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$ 是 DD 感知信号矩阵。基站 (BS) 分别沿着延迟和多普勒维度，通过一对 DFT-IDFT 操作将感知信号 (18) 从 DD 域映射到 FT 域，从而获得一个二维正弦信号 [36]：

$${\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}={\mathbf{F}}_M{\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}{\mathbf{F}}_N^H\text{\hspace{1em}(19)}$$

${\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}$ 的第 $(m,n)$ 个元素是

$$[{\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}{]}_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{MN}}{e}^{j2\pi \left(\frac{n{p}_i}{N}-\frac{m{l}_i}{M}\right)}.\text{\hspace{1em}(20)}$$

IV. RECEIVED SIGNALS

接下来，我们将详细介绍 UE 端的接收通信信号和 BS 端的接收感知信号，并在这两种情况下评估信号与失真噪声比 (SDNR)。

A. Received Communication Signal at the UE

假设完美的时频同步，第 $k$ 个 UE 在 FT 域接收到的信号可以表示为 (21) 式（显示在下一页底部），其中 $[{\mathbf{Z}}_k^{\text{FT}}{]}_{m,n}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_z^2)$ 是影响第 $(m,n)$ 个 FT 单元的加性白噪声，第 $k$ 个 UE 的 FT 离散信道矩阵在 (22) 式中报告（显示在下一页底部）。

$${\mathbf{Y}}_k^{\text{FT}}={\mathbf{H}}_k^{\text{FT}}\odot {\mathbf{X}}^{\text{FT}}+{\mathbf{Z}}_k^{\text{FT}}=\underset{\text{communication signal }{\mathbf{B}}_{k,\text{com}}^{\text{FT}}}{\underbrace{{\mathbf{H}}_k^{\text{FT}}\odot {\Sigma }_{\text{com}}^{\text{FT}}{\mathbf{S}}_{\text{com}}^{\text{FT}}}}+\underset{\text{sensing signal }{\mathbf{D}}_{k,\text{sen}}^{\text{FT}}}{\underbrace{{\mathbf{H}}_k^{\text{FT}}{\sigma }_{\text{sen}}^{\text{FT}}{\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}}}+{\mathbf{Z}}_k^{\text{FT}}\text{\hspace{1em}(21)}$$$$[{\mathbf{H}}_k^{\text{FT}}{]}_{m,n}=\sum _{u=1}^{U_k}{\alpha }_{u,k}{e}^{j2\pi ({\nu }_{u,k}nT-m\Delta f{\tau }_{u,k})}G(m\Delta f){\zeta }_{u,k}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}\text{\hspace{1em}(22)}$$

1. 起始点：连续延迟-时间 (DT) 模型 (公式 1)
   描述了物理信道的时变冲激响应，是关于连续时间 $t$ 和连续延迟 $\tau$ 的函数。
   $$h_k^{\text{DT}}(t,\tau )=\sum _{u=1}^{U_k}{\alpha }_{u,k}{e}^{j2\pi {\nu }_{u,k}t}g(\tau -{\tau }_{u,k}){\zeta }_{u,k}$$

2. 步骤一：对延迟变量 $\tau$ 进行傅里叶变换
   为了获得信道的频率响应，我们对 $h_k^{\text{DT}}(t,\tau )$ 中关于 $\tau$ 的部分进行傅里叶变换。关键变换在于脉冲响应 $g(\tau -{\tau }_{u,k})$：
   F τ { g ( τ − τ u , k ) } ⇒ G ( f ) e − j 2 π f τ u , k \mathcal{F}_{\tau} \{ g(\tau - \tau_{u,k}) \} \Rightarrow G(f) e^{-j2\pi f \tau_{u,k}} Fτ​{g(τ−τu,k​)}⇒G(f)e−j2πfτu,k​
   应用此变换后，得到连续的频时域 (FT) 信道函数 $h^{\text{FT}}(t,f)$:
   $$h^{\text{FT}}(t,f)=\sum _{u=1}^{U_k}{\alpha }_{u,k}{e}^{j2\pi {\nu }_{u,k}t}G(f)e^{-j2\pi f{\tau }_{u,k}}{\zeta }_{u,k}$$

3. 步骤二：在时间和频率上进行离散化采样
   为了将连续模型应用于离散的OFDM网格，我们对时间和频率进行采样：

• 时间采样: $t\Rightarrow nT$ (第 $n$ 个OFDM符号，周期为 $T$)
• 频率采样: $f\Rightarrow m\Delta f$ (第 $m$ 个子载波，间隔为 $\Delta f$)

将离散值代入 $h^{\text{FT}}(t,f)$ 中：
$$[{\mathbf{H}}_k^{\text{FT}}{]}_{m,n}=\sum _{u=1}^{U_k}{\alpha }_{u,k}{e}^{j2\pi {\nu }_{u,k}(nT)}G(m\Delta f)e^{-j2\pi (m\Delta f){\tau }_{u,k}}{\zeta }_{u,k}$$

4. 最终形式：离散频时域 (FT) 矩阵 (公式 22)
   合并指数项，即可得到最终的离散信道矩阵元素：
   $$[{\mathbf{H}}_k^{\text{FT}}{]}_{m,n}=\sum _{u=1}^{U_k}{\alpha }_{u,k}{e}^{j2\pi ({\nu }_{u,k}nT-m\Delta f{\tau }_{u,k})}G(m\Delta f){\zeta }_{u,k}$$

在 (21) 式中，通信信号包含了所有 $K$ 个 UE 的信号，而由感知信号引起的失真被区分开来。在 ${\Lambda }_k^{\text{FT}}$ 网格的第 $(m,n)$ 个 FT 单元上（均衡前），通信 SDNR 为：

$${\gamma }_k^{\text{FT}}=\frac{{\mathbb{E}}_{{\Lambda }_k^{\text{FT}}}\left[{\Vert {\left[{\mathbf{B}}_{k,\text{com}}^{\text{FT}}\right]}_{m,n}\Vert }^2\right]}{{\mathbb{E}}_{{\Lambda }_k^{\text{FT}}}\left[{\Vert {\left[{\mathbf{D}}_{k,\text{sen}}^{\text{FT}}\right]}_{m,n}\Vert }^2\right]+{\mathbb{E}}_{{\Lambda }_k^{\text{FT}}}\left[{\Vert {\left[{\mathbf{Z}}_k^{\text{FT}}\right]}_{m,n}\Vert }^2\right]}\text{\hspace{1em}(23)}$$

其中 ${\mathbb{E}}_{{\Lambda }_k^{\text{FT}}}[\cdot ]$ 是在为第 $k$ 个 UE 分配的 FT 资源支撑集 ${\Lambda }_k^{\text{FT}}$ 上的期望算子。(23) 式的上限可以以闭合形式计算为

$${\gamma }_k^{\text{FT}}\le \frac{{\kappa }^2({\sigma }_k^{\text{FT}}{)}^2}{{\kappa }^2({\sigma }_{\text{sen}}^{\text{FT}}{)}^2+{\sigma }_z^2}\text{\hspace{1em}(24)}$$

其中 ${\kappa }^2={\sum }_{u=1}^{U_k}{\sigma }_{u,k}^{2}L$ 表示第 $k$ 个 UE 的最大信道增益，${\sigma }_k^{\text{FT}}$ 是对应于第 $k$ 个 UE 的 ${\mathbf{\Sigma }}_{\text{com}}^{\text{FT}}$ 中的条目，假设在所有资源上功率均等。在 UE 端进行时频同步后，感知信号是已知的，这可能允许操作消除 ${\mathbf{D}}_{k,\text{sen}}^{\text{FT}}$，从而获得更高的信噪比界，其中 (24) 的分母中只剩下 ${\sigma }_z^2$。请注意，在操作感知信号消除之前，UE 必须考虑多径和由于 UE 有限带宽可能引起的频率混合。这两种现象都会在所发射信号的 DD 域中产生多个副本，需要对其进行估计和补偿。尽管如此，ISAC 系统可以被设计为在 UE 处避免消除过程，从而降低接收机的复杂度。第 $k$ 个下行链路 (DL) 通信链路的可达速率为

$$C=\frac{T^{\prime }}{T^{\prime }+T_{cp}}{\log }_2(1+{\gamma }_k^{\text{FT}})[\text{bps/Hz}]\text{\hspace{1em}(25)}$$

其中第一项解释了由于存在循环前缀 (CP) 而造成的损耗。

B. Received Sensing Signal at the BS

环境中双程传播后在 BS 端的接收信号直接取决于接收面板上所选择的波束赋形 (BF) 方向。在最一般的情况下，FT 域中的接收信号可以表示为 (26) 式（显示在下一页底部），离散的 FT 感知信道矩阵在 (27) 式中。

$${\mathbf{Y}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}={\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}\odot {\mathbf{X}}^{\text{FT}}+{\mathbf{Z}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}=\underset{\text{sensing signal }{\mathbf{D}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}}{\underbrace{{\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}{\sigma }_{\text{sen}}^{\text{FT}}{\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}}}+\underset{\text{communication signal }{\mathbf{B}}_{\text{com}}^{\text{FT}}}{\underbrace{{\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}\odot {\mathbf{\Sigma }}_{\text{com}}^{\text{FT}}{\mathbf{S}}_{\text{com}}^{\text{FT}}}}+{\mathbf{Z}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}\text{\hspace{1em}(26)}$$$$[{\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}{]}_{m,n}=\sum _{q=1}^Q{\beta }_q{e}^{j2\pi ({\nu }_{q}nT-m\Delta f{\tau }_q)}G(m\Delta f){\zeta }_q,\in {\mathbb{C}}^{M\times N}\text{\hspace{1em}(27)}$$

(26) 式中的噪声项是在接收 BF 之后，并且满足 $[{\mathbf{Z}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}{]}_{m,n}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,L{\sigma }_z^2)$。 (26) 式中的信号通过以下步骤获得：(1) 以采样时间 $\Delta \tau =1/B=1/(M\Delta f)$ 对接收的连续时间信号进行采样，(2) 将接收的采样点分组为 $N$ 个块，每块 $M$ 个采样点（$N$ 个 OFDM 符号）并移除循环前缀 (CP) 采样点，(3) 创建 DT（延迟时间 或 快时间-慢时间）数据矩阵 ${\mathbf{Y}}_{\text{sen}}^{\text{DT}}$，(4) 通过对 ${\mathbf{Y}}_{\text{sen}}^{\text{DT}}$ 的延迟维度进行 $M$ 点 DFT 运算来获得 (26) 式。

值得注意的是，这个处理链之所以有效，前提是 CP 包含了所有的感知回波，因此 $T_{cp}\ge 2R_{max}/v$。这样，移除 CP 不会改变接收信号的信息内容。在 $T_{cp}<2R_{max}/v$ 的情况下，对于位于小区边界 $(R=R_{max})$ 的目标，DT 域中的接收信号被截断了 $\lfloor (2R/v-T_{cp})/\Delta \tau \rfloor$ 个采样点，导致延迟和多普勒估计变为次优。

请注意，对于典型的通信系统，发射机和接收机（此处为 BS 和 UE）采用不同的时钟和振荡器，它们不是相互同步的。需要在接收端进行时频同步（定时和载波恢复）以正确恢复信息数据。不同的是，当发射机和接收机位于同一位置时（例如雷达或 ISAC BS），感知信道 ${\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}$ 不包含同步的影响，保留了目标的真实延迟和多普勒频移。这个建模假设与实际系统是一致的，在实际系统中，发射机和接收机位于同一个物理终端，使用相同的振荡器和时钟。

感知处理在 DD 域中进行，因此接收到的 DD 域信号可以表示为 (28) 式

$${\mathbf{Y}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}={\mathbf{F}}_M{\mathbf{Y}}_{\text{sen}}^{\text{FT}}{\mathbf{F}}_N^H=\underset{\text{sensing signal }{\mathbf{D}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}(\tau ,\nu )}{\underbrace{{\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}\otimes {\mathbf{S}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}}}+\underset{\text{communication signal }{\mathbf{B}}_{\text{com}}^{\text{DD}}}{\underbrace{{\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}⊛({\mathbf{\Sigma }}_{\text{com}}^{\text{DD}}\odot {\mathbf{S}}_{\text{com}}^{\text{DD}})}}+{\mathbf{Z}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}\text{\hspace{1em}(28)}$$

其中离散 DD 感知信道矩阵 ${\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}$ 的条目在 (29) 式中有详细说明。

$$[{\mathbf{H}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}{]}_{l,p}=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum _{q=1}^Q{\beta }_q{e}^{-j\cdot 2\pi {\nu }_q{\tau }_q}\frac{\sin (\pi (p-{\nu }_q/\Delta \nu ))}{\sin (\frac{\pi }{N}(p-{\nu }_q/\Delta \nu ))}g(l-{\tau }_q/\Delta \tau ){\zeta }_q.\text{\hspace{1em}(29)}$$

在 (28) 式中，感知信号 ${\mathbf{D}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}(\tau ,\nu )$ 包含了所有 $Q$ 个目标的延迟 $\tau$ 和多普勒频移 $\nu$。最大似然估计器 (MLE) 的一般表达式为

$$(\hat{\tau },\hat{\nu })=\underset{\tau ,\nu }{\mathrm{argmin}}\left({\Vert {\mathbf{y}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}-{\mathbf{d}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}\Vert }_{{\mathbf{C}}_n}^2\right),\text{\hspace{1em}(30)}$$

其中 ${\mathbf{y}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}=\text{vec}({\mathbf{Y}}_{\text{sen}}^{\text{DD}})$，${\mathbf{d}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}=\text{vec}({\mathbf{D}}_{\text{sen}}^{\text{DD}})$，而 ${\mathbf{C}}_n$ 是噪声加通信信号 ${\mathbf{n}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}=\text{vec}({\mathbf{B}}_{\text{com}}^{\text{DD}}+{\mathbf{Z}}_{\text{sen}}^{\text{DD}})$ 的协方差矩阵。

对于单目标 $Q=1$ 和对角协方差矩阵 ${\mathbf{C}}_n={\sigma }_n^2{\mathbf{I}}_{MN}$ 的情况，DD 网格上的最大似然估计 (MLE) 简化为二维周期图 [37]。然而，在一般情况下，由于 $Q$ 个目标响应与有色噪声（即非对角的 ${\mathbf{C}}_n$）之间的耦合，本文采用的多峰值选择是次优的。

值得注意的是，在 DD 域中使用单个感知冲激可以在无需额外处理的情况下探测 $Q$ 个目标的回波。检测第 $q$ 个目标的感知性能取决于感知 SDNR ${\gamma }_{q,\text{sen}}^{\text{DD}}$，其计算如 (31) 式所示，

$${\gamma }_{q,\text{sen}}^{\text{DD}}=\frac{\mathbb{E}\left[{\left|[{\mathbf{D}}_{\text{q,sen}}^{\text{DD}}{]}_{{\tilde{l}}_q,{\tilde{p}}_q}\right|}^2\right]}{{\sum }_{j=1,j\ne q}^Q\mathbb{E}\left[{\left|[{\mathbf{D}}_{\text{j,sen}}^{\text{DD}}{]}_{{\tilde{l}}_q,{\tilde{p}}_q}\right|}^2\right]+\mathbb{E}\left[{\left|[{\mathbf{B}}_{\text{com}}^{\text{DD}}{]}_{{\tilde{l}}_q,{\tilde{p}}_q}\right|}^2\right]+\mathbb{E}\left[{\left|[{\mathbf{Z}}_{\text{sen}}^{\text{DD}}{]}_{{\tilde{l}}_q,{\tilde{p}}_q}\right|}^2\right]}\text{\hspace{1em}(31)}$$

其中 ${\tilde{l}}_q=({\tau }_q/\Delta \tau )+l_i$ 和 ${\tilde{p}}_q=({\nu }_q/\Delta \nu )+p_i$ 分别是接收到的第 $q$ 个目标脉冲的延迟和多普勒索引，而第 $q$ 个目标的感知信号 ${\mathbf{D}}_{q,\text{sen}}^{\text{DD}}({\tau }_q,{\nu }_q)$ 可以表示为

$${\mathbf{D}}_{q,\text{sen}}^{\text{DD}}({\tau }_q,{\nu }_q)=\frac{{\sigma }_{\text{sen}}^{\text{DD}}}{\sqrt{MN}}{\beta }_q{e}^{-j\cdot 2\pi {\nu }_q{\tau }_q}\times \frac{\sin (\pi (p-\frac{{\nu }_q}{\Delta \nu }-p_i))}{\sin (\frac{\pi }{N}(p-\frac{{\nu }_q}{\Delta \nu }-p_i))}g\left(l-\frac{{\tau }_q}{\Delta \tau }-l_i\right){\zeta }_q.\text{\hspace{1em}(32)}$$

SDNR ${\gamma }_{q,\text{sen}}^{\text{DD}}$ 在 (31) 式中的上限可以计算为

$${\gamma }_{q,\text{sen}}^{\text{DD}}\le \frac{{\kappa }_{q,\text{sen}}^2({\sigma }_{\text{sen}}^{\text{DD}}{)}^2}{{\sum }_{j\ne q}^Q{\kappa }_{j,\text{sen}}^2{\chi }_{q,j}({\sigma }_{\text{sen}}^{\text{DD}}{)}^2+{\kappa }_{\text{sen}}^2({\sigma }_{\text{com}}^{\text{DD}}{)}^2+{\sigma }_z^2}\text{\hspace{1em}(33)}$$

其中 ${\kappa }_{q,\text{sen}}^2={\sigma }_q^2{L}^2$，且 ${\kappa }_{\text{sen}}^2={\sum }_{q=1}^Q{\kappa }_{q,\text{sen}}^2$。项 ${\chi }_{q,j}$ 表示第 $q$ 个和第 $j$ 个目标之间的耦合，其定义为

$${\chi }_{q,j}=\frac{1}{(MN{)}^2}{\left|\frac{\sin \left(\pi \left(\frac{{\nu }_q-{\nu }_j}{\Delta \nu }\right)\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{N}\left(\frac{{\nu }_q-{\nu }_j}{\Delta \nu }\right)\right)}g\left(\frac{{\tau }_q-{\tau }_j}{\Delta \tau }\right)\right|}^2\le 1,\text{\hspace{1em}(34)}$$

只有当第 $j$ 个目标与第 $q$ 个目标具有相同的延迟和多普勒时，等式才成立。现在的关键观察是，DD 域的感知 SDNR ${\gamma }_{q,\text{sen}}^{\text{DD}}$ 内嵌了处理增益 $MN$（如章节 III 中的 (11) 式所示），因此它与所使用的带宽 $M\Delta f$ 和观测时间 $NT$ 成正比。处理增益有助于减轻感知信号增加的路径损耗（通信链路中为 $\propto R^{-2}$，感知中为 $\propto R^{-4}$）以及来自 OFDM 通信信号的干扰。为了实现适当的通信和感知操作，功率分配在下一章节中被形式化为一个优化问题。

V. ISAC POWER ALLOCATION

所提出的 ISAC 波形允许感知信号超出为通信设定的监管频谱范围，以提高延迟/距离分辨率。换句话说，当用于感知的资源网格显著大于为通信设定的资源网格时，即 ${\Lambda }_{\text{com}}^{\text{FT}}\subset {\Lambda }^{\text{FT}}$， $M_{\text{com}}<M$，只要感知信号不超过以 ACLR 限制表示的给定带宽积分功率阈值，距离分辨率就可以得到增强 [31]。该问题在图 3 中有图形化展示。

图 3. 将一个感知信号叠加到一个传统的 OFDM 信号上的示例。前者（感知信号）必须低于绝对的（针对功率谱密度）和相对的（针对带宽积分功率）ACLR 限制。

所提出的 ISAC 波形设计包含对功率分配的优化，旨在 (i) 最小化总发射功率，(ii) 确保理想的通信和感知性能，以及 (iii) 强制执行对带外 (OB) 辐射的监管约束。例如，用于 5G NR FR2 系统的基站 (BS type 2-O) 被制造为在 24.25 – 33.4 GHz 的频谱范围内工作，典型带宽为 3 GHz，而用于通信的最大带宽对于单载波固定为 400 MHz，通过载波聚合可达 1600 MHz [38]。

记 $M_{ob}$ 为带外子载波的数量（仅由感知信号占据），我们有 $M=M_{\text{com}}+M_{ob}$。功率分配问题可以表述为：