HPDDM（High-Performance Domain Decomposition Methods）是一个开源、高性能、模块化的 C++ 库，专为求解大规模稀疏线性系统而设计，尤其适用于并行计算环境。它实现了多种先进的区域分解方法（Domain Decomposition Methods, DDM），常用于科学计算、有限元分析、结构力学、流体力学等领域。

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一、HPDDM 简介

1.1 核心特性

• ✅ 高性能并行计算：支持 MPI + OpenMP 混合并行，适配大规模 HPC 系统。
• ✅ 多种预条件子：
  • 重叠型（如 Additive Schwarz, Restricted Additive Schwarz）
  • 非重叠型（如 BDDC, FETI-DP）
  • 多重网格（Multilevel）
• ✅ 灵活的求解器接口：支持 Krylov 子空间方法（CG, GMRES, BiCGStab 等）。
• ✅ 与外部库集成：
  • PETSc（通过 PCHPDDM 接口）
  • SLEPc（用于特征值问题）
  • Eigen（可选后端）
• ✅ 支持复数、实数、单/双精度。
• ✅ 模块化设计：易于扩展和嵌入到现有代码中。

1.2 适用场景

• 大规模偏微分方程数值求解（FEM/FVM）
• 结构力学、电磁场、流体动力学模拟
• 并行预条件子开发与研究
• 需要高可扩展性的科学计算应用

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二、安装与依赖

2.1 依赖项

• C++11 编译器（GCC、Clang、Intel 等）
• MPI 库（如 OpenMPI、MPICH）
• BLAS/LAPACK（推荐 OpenBLAS、Intel MKL、ATLAS）
• （可选）PETSc、SLEPc、Eigen、MUMPS、METIS

2.2 编译安装

git clone https://github.com/hpddm/hpddm.git
cd hpddm
mkdir build && cd build
cmake .. \
    -DCMAKE_INSTALL_PREFIX=/your/install/path \
    -DHPDDM_PETSC=ON \          # 启用 PETSc 接口
    -DHPDDM_SLEPC=ON \          # 启用 SLEPc 接口
    -DBLAS_LIBRARIES="-lopenblas" \
    -DLAPACK_LIBRARIES="-lopenblas"
make -j4
make install

⚠️ 注意：若使用 PETSc，建议先编译 PETSc 并设置 PETSC_DIR 和 PETSC_ARCH。

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三、基本使用方法

3.1 独立使用 HPDDM（不依赖 PETSc）

示例：求解 Ax = b

#include <HPDDM.hpp>

int main(int argc, char** argv) {
    // 初始化 MPI
    MPI_Init(&argc, &argv);

    // 定义矩阵类型（CSR 格式）
    using Matrix = HPDDM::MatrixCSR<double>;
    using Solver = HPDDM::IterativeSolver<Matrix>;

    int rank;
    MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank);

    // 假设你已构造矩阵 A 和向量 b（此处略去具体构造过程）
    // Matrix* A = ...;
    // double* b = ...;
    // int n = ...; // 本地向量长度

    // 创建求解器
    Solver solver;
    solver.setMatrix(A); // 设置矩阵

    // 设置选项（从文件或命令行）
    HPDDM::Option& opt = *HPDDM::Option::get();
    opt.parse(argc, argv); // 解析命令行参数，如 -hpddm_max_it 1000

    // 分配解向量 x
    double* x = new double[n]();

    // 求解
    int iterations = solver.solve(b, x);

    if (rank == 0)
        std::cout << "Converged in " << iterations << " iterations." << std::endl;

    delete[] x;
    // delete A; // 注意释放矩阵

    MPI_Finalize();
    return 0;
}

命令行设置参数示例：

mpirun -n 4 ./your_program \
    -hpddm_krylov_method gcrotmk \
    -hpddm_max_it 1000 \
    -hpddm_tol 1e-8 \
    -hpddm_define_subdomain \
    -hpddm_level_1_st 1 \
    -hpddm_level_1_eps 0.1

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3.2 与 PETSc 集成使用（推荐方式）

HPDDM 最常用的方式是作为 PETSc 的预条件子 PCHPDDM。

示例代码（PETSc + HPDDM）

#include <petscksp.h>

int main(int argc, char **argv) {
    PetscInitialize(&argc, &argv, NULL, NULL);

    Mat A;
    Vec b, x;
    KSP ksp;
    PC pc;

    // 创建矩阵和向量（此处省略具体装配过程）
    // 假设你已创建好 Mat A, Vec b

    KSPCreate(PETSC_COMM_WORLD, &ksp);
    KSPSetOperators(ksp, A, A);
    KSPGetPC(ksp, &pc);

    // 设置 HPDDM 预条件子
    PCSetType(pc, PCHPDDM);
    KSPSetType(ksp, KSPGMRES);

    // 可选：设置 HPDDM 子选项
    PetscOptionsSetValue(NULL, "-pc_hpddm_levels_1_st_pc_type", "lu");
    PetscOptionsSetValue(NULL, "-pc_hpddm_levels_1_eps_nev", "20");
    PetscOptionsSetValue(NULL, "-pc_hpddm_coarse_p", "1");

    KSPSetFromOptions(ksp); // 从命令行读取参数
    KSPSolve(ksp, b, x);

    // 输出信息
    KSPConvergedReason reason;
    KSPGetConvergedReason(ksp, &reason);
    if (reason > 0) {
        PetscPrintf(PETSC_COMM_WORLD, "Converged!\n");
    }

    KSPDestroy(&ksp);
    VecDestroy(&x);
    VecDestroy(&b);
    MatDestroy(&A);

    PetscFinalize();
    return 0;
}

编译命令（需链接 PETSc 和 HPDDM）：

mpicxx -o main main.cpp $(pkg-config --cflags --libs PETSc)

运行命令示例：

mpirun -n 4 ./main \
    -ksp_type gmres \
    -pc_type hpddm \
    -pc_hpddm_levels_1_st_pc_type lu \
    -pc_hpddm_coarse_p 1 \
    -ksp_monitor \
    -ksp_rtol 1e-8

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四、常用选项说明（PETSc 接口）

选项	说明
-pc_type hpddm	启用 HPDDM 预条件子
-pc_hpddm_define_subdomains	自动划分子域（需 METIS）
-pc_hpddm_has_subdomain_def	用户提供子域划分
-pc_hpddm_coarse_p <p>	粗网格进程数（0 = 所有进程参与）
-pc_hpddm_levels_1_st_pc_type lu	子域求解器用直接法（也可用 ilu, jacobi）
-pc_hpddm_levels_1_eps_nev <n>	子域谱修正的特征值个数
-pc_hpddm_block_splitting	按物理场分块（用于多物理场问题）

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五、高级功能

5.1 多重网格（Multilevel）

HPDDM 支持多层区域分解，例如三层 BDDC：

-pc_hpddm_levels_1_st_pc_type lu \
-pc_hpddm_levels_2_st_pc_type lu \
-pc_hpddm_coarse_p 1 \
-pc_hpddm_coarse_pc_type lu

5.2 特征值修正（Spectral Coarse Space）

用于改善收敛性，尤其在系数跳跃大的问题中：

-pc_hpddm_levels_1_eps_nev 10 \
-pc_hpddm_levels_1_eps_threshold 0.1

5.3 与 SLEPc 集成（特征值问题）

#include <slepceps.h>
...
EPSSetOperators(eps, A, B);
EPSSetWhichEigenpairs(eps, EPS_SMALLEST_REAL);
EPSSetFromOptions(eps);
EPSSolve(eps);

并设置：

-st_pc_type hpddm
-st_ksp_type preonly
-st_pc_hpddm_coarse_p 1

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六、调试与性能优化

• 使用 -log_view 查看 PETSc 日志
• 使用 -pc_hpddm_view 查看 HPDDM 内部结构
• 使用 -ksp_monitor_true_residual 监控真实残差
• 启用 -hpddm_verbosity 2 输出 HPDDM 调试信息
• 性能调优：选择合适的子域求解器、特征值数量、粗网格大小

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七、参考资料

• 📘 官方 GitHub：https://github.com/hpddm/hpddm
• 📘 官方文档：https://github.com/hpddm/hpddm/tree/master/doc
• 📘 PETSc 手册中 PCHPDDM 章节：https://petsc.org/release/docs/manualpages/PC/PCHPDDM.html
• 📘 论文：Pierre Jolivet et al., “Scalable Domain Decomposition Preconditioners for Heterogeneous Elliptic Problems”, SC13, SC14, etc.

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八、小结

✅ HPDDM 是一个现代、高性能、灵活的区域分解求解器库，特别适合在并行环境下求解大规模稀疏线性系统。
✅ 推荐与 PETSc 集成使用，通过 PCHPDDM 接口可快速构建高性能预条件子。
✅ 支持多层、谱修正、复数、块结构等高级功能，适用于科研与工业级应用。

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如需具体案例（如弹性力学、Stokes 方程、Maxwell 方程等），可进一步提供问题背景，我可以给出针对性配置和代码示例。