摘要——本文提出了一种借助格什戈林圆盘定理设计的、基于特征结构的估计器，用于信源数量检测。通过引入协方差矩阵的酉变换，利用特征结构的格什戈林半径来确定信源数量，同时克服了数据样本、噪声模型和数据独立性信息缺失的问题。与传统的、基于特征值聚类分析并结合统计公式的方法——例如赤池信息准则（AIC）和最小描述长度准则（MDL）——不同，本文提出的名为格什戈林圆盘估计器（GDE）的方法，在仿真和实测实验数据的情况下，都能为信源数量提供更准确的检测。

1. INTRODUCTION

在无源水下和雷达信号处理领域，近年来已经发展出几种用于信源到达方向（DOA）的高分辨率估计器。众所周知，每种高分辨率方法的性能在很大程度上取决于能否成功确定信号的数量 [1-4]。最近，Wax 和 Kailath [1] 提出了基于赤池信息准则（AIC）和最小描述长度（MDL）准则的新量化方法来解决这一检测问题。不幸的是，这两种准则在小样本快照和非白噪声过程的情况下定义不明确。总的来说，AIC、MDL 及其改进版本仍然是用于信源数量检测的最广泛使用的基于特征值的方法。由于这些方法基于零均值、统计独立的高斯随机噪声的假设，它们可以被归类为依赖模型且基于特征值的信源数量检测方法。

在本文中，我们提出了一种独立于模型的方法，该方法不同于诸如 AIC 和 MDL 等基于特征值的方法。首先，我们将提出一种酉变换，用于将降维的样本协方差矩阵重构为一个稀疏的“近对角”矩阵。将格什戈林圆盘定理 [5,6] 应用于变换后的协方差矩阵，我们随后可以将格什戈林圆盘分为两个不同的集合：一个集合恰好包含 $M$ 个最大的信号特征值，另一个集合包含剩余的噪声特征值。因此，我们将定义用于信源数量检测的格什戈林圆盘估计器（Gerschgorin Disk Estimator，GDE）准则。

2. PROPOSED METHOD

令 ${\lambda }_i,i=1,2,\dots ,L$ 为协方差矩阵 $\mathbf{C}$ 按降序排列的特征值。如果信源数量 $M$ 小于 $L$（即传感器的数量），那么 $\mathbf{C}$ 的特征值将由下式给出
$${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_M>{\lambda }_{M+1}=\cdots ={\lambda }_L={\sigma }_n^2,\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 ${\sigma }_n^2$ 是未知的噪声方差。AIC 和 MDL 方法 [1] 利用上述观察结果和统计推导来检测信源数量 $M$，前提是给出了估计的特征值。

2.1 酉变换

具有无限样本的协方差矩阵由下式给出
$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{C}}_1& \mathbf{c}\\ {\mathbf{c}}^H& c_{LL}\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(2)}$$
将会证明，存在一个酉矩阵 $\mathbf{U}$（$\mathbf{U}{\mathbf{U}}^H=\mathbf{I}$），它可以将 $\mathbf{C}$ 变换为一个稀疏的“近对角”矩阵 $\mathbf{S}$：
$$\mathbf{S}={\mathbf{U}}^H\mathbf{CU}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{D}}_1& \mathbf{\rho }\\ {\mathbf{\rho }}^H& c_{LL}\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中
$$\mathbf{U}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{U}}_1& 0\\ 0^T& 1\end{array}\right),$$
$${\mathbf{D}}_1={\mathbf{U}}_1^H{\mathbf{C}}_1{\mathbf{U}}_1=\text{diag}({\lambda }_1^{\prime },{\lambda }_2^{\prime },\dots ,{\lambda }_{L-1}^{\prime }),$$
并且
$$\mathbf{\rho }={\mathbf{U}}_1^H\mathbf{c}=[{\rho }_1,{\rho }_2,\dots ,{\rho }_{L-1}{]}^T.$$
因为 ${\lambda }_i^{\prime }$ 是 $\mathbf{C}$ 的前导主子矩阵 ${\mathbf{C}}_1$ 的特征值，已有证明 [6] 其交错特性为
$${\lambda }_1\ge {\lambda }_1^{\prime }\ge \cdots \ge {\lambda }_M^{\prime }\ge \cdots \ge {\lambda }_{L-1}\ge {\lambda }_{L-1}^{\prime }\ge {\lambda }_L.\text{\hspace{1em}(4)}$$
由于 $\mathbf{U}$ 是一个酉矩阵，$\mathbf{S}$ 的特征值将与 $\mathbf{C}$ 的特征值相同。很明显，前 $(L-1)$ 个格什戈林圆盘（例如 ${\mathbf{O}}_1,{\mathbf{O}}_2,\dots ,{\mathbf{O}}_{L-1}$）拥有如下的格什戈林半径：
$$r_i=|{\rho }_i|=|{\mathbf{U}}_1^H\mathbf{c}{|}_i,\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $i=1,2,\dots ,M,M+1,\dots ,L-1$。我们有必要证明，当 $i=(M+1),(M+2),\dots ,(L-1)$ 时，所有的 ${\rho }_i$ 值都等于零，而当 $i=1,2,\dots ,M$ 时，值非零。因此，在无限样本的情况下，我们可以通过计算非零格什戈林半径的数量来确定信源数量。

另一方面，如果只有有限数量的数据样本可用，噪声的半径 $r_i$ 的振幅将不再是零。例如，在一个仿真协方差矩阵的案例中，当 $L=6,N=100$, DOA=[-10° 10°]，且 SNR=[2 2]dB 时，对应的格什戈林圆盘在很大范围内紧密重叠。对于原始的协方差矩阵，我们无法直接应用格什戈林圆盘定理来估计信源数量。然而，通过对估计的协方差矩阵执行建议的酉变换 $\mathbf{U}$（如式(3)所示），我们可以得到 $\mathbf{S}$ 的格什戈林圆盘，其格什戈林中心和对应的半径如图1所示，分别为 {2.55, 0.69}, {2.38, 0.71}, {1.10, 0.13}, {1.02, 0.09} 和 {0.92, 0.20}。最终，格什戈林圆盘形成两个集合：包含具有大半径的 ${\mathbf{O}}_1\cup {\mathbf{O}}_2$ 的信号集合，以及包含具有小半径的 ${\mathbf{O}}_3\cup {\mathbf{O}}_4\cup {\mathbf{O}}_5$ 的噪声集合。

2.2 GDE 准则

从图1我们得知，变换后的协方差矩阵的噪声半径和信号半径被很好地分离。很明显，通过均值阈值法可以实现从零值数中检测出大数值数。因此，现在可以通过确定一个合理的阈值，将信号和噪声划分为不同的集合，从而轻松地检测出信源数量。我们相信可能存在其他能够实现更好检测性能的准则。然而，为了简化计算，我们将 GDE 准则定义为

$$\text{GDE}(k)=r_k-\frac{1}{L-1}\sum _{i=1}^{L-1}{r}_i,\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 $k$ 是闭区间 $[1,L-1]$ 内的整数。此外，这里必须做出的假设是，信源数量必须小于传感器数量减一（即 $M<L-1$）。如果从 $k=1$ 开始计算 $\text{GDE}(k)$，当达到第一个非正值的 $\text{GDE}(k)$ 时，信源数量就被确定为 $k-1$（即 $M=k-1$）。

3. SIMULATION RESULTS