文章详细解析了矩阵乘法在AI模型中的核心作用。矩阵乘法本质上是将两个线性变换组合为一个等效变换，其维度遵循"内部匹配，外部决定"的规则。在Transformer架构中，每个标记向量经过线性投影、ReLU非线性激活和维度还原来提取多层次特征。ReLU函数的引入至关重要，它为模型注入非线性特性，避免了多层线性变换等价于单一线性变换的问题。神经网络中的每一层都围绕矩阵乘法展开，构成了现代AI模型的数学基础。

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本文将聚焦矩阵乘法，深入聊聊这类数值计算在助力 AI 模型实现 “思考” 功能时，究竟发挥着怎样的重要作用。

1、矩阵乘法到底是什么？

矩阵乘法是依次对一个向量应用两个变换。

假设首先将一个向量旋转90度，然后向右倾斜。

这在数学上会是什么样子呢？

操作将是：

这意味着先应用Mrot，然后对结果应用Mskew。

但问题是：我们可以用一个单独的矩阵来表示这个完整的变换吗？

结果是，我们只需“相乘”Mskew和Mrot即可。

如何计算Mnet？我们可以找到î和ĵ的最终位置，并将它们作为Mnet的列。

但这是否真的等同于单独的变换矩阵相乘呢？

是的，原因如下：

有趣的是：

另一个线性变换的线性变换可以归结为一个等效的线性变换。

这就是为什么神经网络层之间有激活函数的原因。

2、矩阵乘法中的最终维度是什么？

当你计算两个矩阵的乘积，或是一个矩阵与一个向量的乘积时，最核心的一点是搞清楚输入数据的维度与输出结果的维度之间的关系。这里有一条简单却关键的规则：参与运算的 “内部维度” 必须完全匹配，而最终结果的维度则由 “外部维度” 决定。

这条规则适用于两种常见场景：

• 矩阵与向量的乘法：需确保矩阵的列数（内部维度）与向量的维度（内部维度）一致，最终结果的维度由矩阵的行数（外部维度）决定。
• 矩阵与矩阵的乘法：需确保前一个矩阵的列数（内部维度）与后一个矩阵的行数（内部维度）一致，最终结果的维度则由前一个矩阵的行数（外部维度）和后一个矩阵的列数（外部维度）共同决定。

关键规则很简单：内部维度必须匹配，结果取外部维度。

这是一个数值示例：

3、这个想法在现实世界的人工智能中有多重要？

矩阵乘法的这一核心逻辑，在现实 AI 领域的重要性不言而喻 —— 每个 Transformer 层都包含一个多层感知机（MLP），而 MLP 的基本结构，正是由这些矩阵乘法构建起来的。一步步拆解其中的原理：

首先，文本中的每个标记（Token）都会被转换为一个向量，之后这个向量会 “在 LLM 的各个层中依次传递”。在每一层里，向量会经历一系列固定操作：

1. 线性投影阶段

   ：图中用梯形表示的 “线性投影矩阵” 会先对向量进行处理。这里的 “投影” 本质上就是一种线性变换，区别仅在于输出向量与输入向量的维度不同 —— 通过简单的矩阵与向量相乘，就能将输入向量 x 投影到新的维度，得到向量 y，我们也在图中标注了所有组件的具体维度。

2. 非线性激活阶段

   ：完成投影后，向量会经过 ReLU（一种常用的 “激活函数”）。ReLU 的作用很直接：将输入中所有小于 0 的值设为 0，其余值则保持不变。

3. 维度还原阶段

   ：最后，再通过一次最终的投影操作，将向量重新转换回原始的向量空间，为进入下一层或输出结果做准备。

解释一下。

每个标记都会被转换成一个向量，然后“通过LLM的各层传递”。

在每一层中，该向量经过一系列操作，如图所示：

如果这令人困惑，不用担心,这里解释一下。

梯形代表“线性投影”矩阵。

“投影”只是一个线性变换，只是输出向量与输入向量的维度不同。

接下来，我们通过ReLU（一种“激活函数”）。

这会将小于零的输入值设为零，其他值保持不变。

最后，我们通过最终的投影将其返回到原始向量空间。

4、为什么我们需要ReLU函数？

我们引入 ReLU 函数，核心原因是它属于非线性函数，能为 MLP 层注入关键的非线性特性。不妨设想一下，如果完全去掉 ReLU 函数会发生什么：

此时，我们对向量 x 先进行一次 “向下投影”（维度降低），再进行一次 “向上投影”（维度还原）。而这两次矩阵运算串联起来的效果，其实等价于一个单一的线性变换 —— 这就导致中间的投影矩阵变得冗余，无法实现我们期望的 “多层特征提取” 目标，显然不是我们想要的结果。

两个矩阵串联等价于一个单一的线性变换。矩阵是冗余的——这不是我们想要的。

5、结束语

在这篇博客中，探讨了两个核心内容：一是矩阵乘法如何作为 “顺序变换” 发挥作用，二是在执行这类运算时该如何准确考量维度关系。同时，我们也以 Transformer 中的 MLP 为例，具体说明了矩阵运算如何成为现代 AI 模型的底层基础 —— 值得一提的是，神经网络中的每一个 “层”，本质上都围绕矩阵乘法展开。

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