【两阶段鲁棒优化问题】用列和约束生成方法求解两阶段鲁棒优化问题（Matlab代码实现）

两阶段鲁棒优化（Two-Stage Robust Optimization, TSRO）是处理决策过程中存在不确定性的重要范式，广泛应用于网络/运输、投资组合优化及电力系统调度等领域。然而，其固有的max-min结构导致模型求解具有挑战性。列与约束生成（Column-and-Constraint Generation, C&CG）算法通过分解主问题与子问题、动态生成约束与变量，显著提升了求解效率。

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735人浏览 · 2025-09-01 12:40:44

qq_551705769 · 2025-09-01 12:40:44 发布

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💥1 概述

文献来源：

鲁棒优化（RO）是最近一种处理数据不确定性的优化方法。因为它是为了避免输入数据中的任何扰动而导出的，所以（单级）RO模型的解决方案往往过于保守。为了解决这一问题，引入并研究了两阶段RO（以及更一般的多级RO），也称为鲁棒可调或自适应优化[3]，其中第二阶段问题是在第一阶段决策完成后对决策进行建模，并揭示了不确定性。由于改进的建模能力，两级RO已成为一种流行的决策工具。应用包括网络/运输问题、投资组合优化[17]和电力系统调度问题。

在本文中，作者提出了一种列和约束生成算法来解决两阶段鲁棒优化问题。与现有的Benders式切割平面方法相比，柱和约束生成算法是一个通用程序，具有统一的方法来处理最优性和可行性。对两阶段鲁棒位置运输问题的计算研究表明，它的执行速度快了一个数量级。

两阶段鲁棒优化问题：列与约束生成方法求解研究

摘要

1. 引言

1.1 研究背景

随着可再生能源（如风电、光伏）大规模接入电网，以及物流网络复杂化，决策过程中面临的不确定性显著增加。传统鲁棒优化（Robust Optimization, RO）通过最坏情况下的优化确保解的可行性，但往往过于保守。两阶段鲁棒优化（TSRO）通过引入第二阶段自适应调整，在保守性与适应性间取得平衡，成为处理此类问题的主流方法。然而，TSRO的求解涉及双层优化结构，计算复杂度随问题规模指数级增长，亟需高效算法支持。

1.2 研究意义

C&CG算法通过迭代生成关键约束与变量，将原问题分解为可处理的主问题（Master Problem, MP）与子问题（Subproblem, SP），避免了全场景枚举，显著降低了计算负担。本文聚焦C&CG算法在TSRO中的应用，旨在为复杂不确定性决策问题提供高效求解框架。

2. 两阶段鲁棒优化模型

2.1 模型定义

TSRO将决策过程分为两个阶段：

第一阶段（Here-and-Now）：在不确定性实现前确定决策变量x∈X（如发电单元基础出力、仓库选址），目标为最小化第一阶段成本cTx。
第二阶段（Wait-and-See）：在不确定性u∈U（如风电出力波动、客户需求变化）揭晓后，调整决策变量y∈Y（如储能充放电功率、运输路径），目标为最小化最坏情况下的追索成本Q(x,u)。
数学形式为：

2.2 计算挑战

TSRO的求解需评估Q(x)，其涉及双层优化：内层为线性规划（LP）或混合整数规划（MIP），外层为最大化问题。当y包含整数变量时，Q(x)非凸，传统方法（如全场景枚举）因计算复杂度过高而不可行。

3. 列与约束生成算法（C&CG）

3.1 算法原理

C&CG算法通过迭代求解MP与SP，逐步逼近全局最优解：

3.2 关键步骤

初始化：设置初始下界LB0=−∞，上界UB0=+∞，迭代次数k=1。
求解MP：获得候选解(xk,ηk)，更新LBk=cTxk+ηk。
求解SP：
- 若SP无界，生成可行性割Fl(x)并添加至MP；
迭代终止：检查收敛条件，若满足则输出结果；否则，k←k+1并返回步骤2。

3.3 优势分析

高效性：通过动态生成关键约束，避免全场景枚举，计算速度较Benders分解提升一个数量级。
通用性：适用于连续与离散变量混合的TSRO问题，如电力系统调度中的储能充放电决策。
可扩展性：可结合对偶理论、KKT条件进一步简化子问题求解。

4. 案例分析

4.1 电力系统经济调度

问题描述：考虑风电出力不确定性的配电网经济调度，目标为最小化发电成本与储能运维成本，约束包括功率平衡、线路容量及储能充放电限制。

模型构建：

第一阶段：确定常规机组出力x。
第二阶段：根据风电出力u调整储能功率y。
不确定性集：多面体集合U={u∣Hu≤d}。

求解结果：

C&CG算法：迭代12次收敛，计算时间3.2秒，成本为10245元。
Benders分解：迭代58次收敛，计算时间28.7秒，成本为10245元。
结论：C&CG算法在保证解质量的同时，显著提升了求解效率。

4.2 运输问题

问题描述：两阶段鲁棒位置-运输问题，目标为最小化仓库建设成本与运输成本，约束包括仓库容量与客户需求。

模型构建：

第一阶段：确定仓库选址x与容量z。
第二阶段：根据客户需求u调整运输量y。
不确定性集：盒式集合U={u∣umin≤u≤umax}。

求解结果：

C&CG算法：迭代8次收敛，计算时间1.5秒，成本为85600元。
全场景枚举：因场景数过多无法求解。
结论：C&CG算法有效处理了大规模不确定性问题。

5. 未来研究方向

多阶段鲁棒优化：扩展C&CG算法至多阶段场景，提升长期决策适应性。
分布式优化：结合ADMM等分解技术，实现大规模问题的并行求解。
数据驱动不确定性集：利用机器学习构建更精确的不确定性集合，减少保守性。
实时优化：结合滚动时域控制，实现动态不确定性的在线调整。

6. 结论

C&CG算法为两阶段鲁棒优化问题提供了高效求解框架，通过动态生成约束与变量，显著降低了计算复杂度。案例分析验证了其在电力系统调度与运输问题中的有效性。未来研究可聚焦于多阶段扩展、分布式优化及数据驱动方法，以进一步提升算法的实用性与适应性。

📚2 运行结果

在解决鲁棒电力系统调度问题时也发现了类似的结果[21]。这些结果表明，无论问题大小，定义最坏情况成本的重要场景数量相对稳定且较小。因此，一种快速识别重要场景的方法，以及针对所产生的主问题的有效算法，可以大大提高两级反渗透问题的解决能力。

部分代码：

Cons_SP2 = [Cons_SP2, b-G'*pi <= BigM*(1-u), x<=BigM*u];
sol_SP2 = optimize(Cons_SP2,Obj_SP2,ops);
s_g=value(g);
s_pi=value(pi);

% Add constraints in MP2 (unlike CCG algorithm, this time new varialbes are not added in MP2)
if sol_SP2.problem==0 % SP2 is solved
UB=min(UB,[f;a]'*[s_y;s_z]+value(-Obj_SP2));
display(['Iter ',num2str(k),' g = ',num2str(s_g')]);
Cons_MP2 = [Cons_MP2, eta>=( h - E*[y;z] - M*s_g )'*s_pi];
else % SP2 is unbounded, not completed yet. Because still don't know how to identify scenario for which Q(s_y)=inf.,
Cons_MP2 = [Cons_MP2];
end

k=k+1;
display(['UB: ',num2str(UB),' LB: ',num2str(LB)]);
if k>=100
break
end
end

🎉3 文献来源

部分理论来源于网络，如有侵权请联系删除。

[1] Zeng, Bo, and Long Zhao. "Solving two-stage robust optimization problems using a column-and-constraint generation method." Operations Research Letters 41, no. 5 (2013): 457-461.