前言：（本文章是由作者阅读同济大学版高等数学教材和普林斯顿微积分读本后对微积分的认知，会借助部分原教材素材和整合AI检索生成的内容，文字语言框架由作者个人组织，所以存在不足。后续随着作者对微积分学习的深入，会继续修改完善本系列文章，以给每位深陷微积分谜团的伙伴们一些指引。）

很多人在学习复合函数求导时，会遇到一个叫“链式求导法则”的运算方式。这个法则，高数老师上课时直接就使用了，我们平时也会直接上手使用。但是，链式求导法则从何而来？如何证明？

无论学习什么知识，如果不去思考了解知识产生的历史发展和演变过程，就会陷入到知识只是一种工具的虚无认识中，脱离了生产与实践。

那么，老样子，我们先来了解链式求导法则的发展历史。要知道，这么基础的一个法则，有没有可能是由某位出类拔萃的数学家提出证明的呢？当你提出这个问题时，答案的是与不是，已不再重要，学会提出问题学会质疑基础法则再去了解和证明，才是科学技术发展的动力。

一、链式求导法则的发展历史

链式求导法则的提出并非由单一数学家独立完成，它是微积分发展过程中逐渐形成的核心工具。其思想最早的来源是——牛顿和莱布尼茨，但现代形式的严格表述则经历了多位数学家的贡献。

1.1 牛顿与莱布尼茨的隐含思想

• 牛顿（17世纪）在《自然哲学的数学原理》中使用了类似链式法则的方法处理“流量”（函数的导数），但他的表述基于几何和物理直观，并未给出明确的数学公式。
• 莱布尼茨（同期）引入了微分符号（如 dx,dydx,dy），并观察到复合函数的微分可以分解为各部分的乘积。他的符号体系为链式法则的现代形式奠定了基础，但他本人也未严格证明。

1.2 欧拉的明确表述

• 欧拉（18世纪）更清晰地表达了链式法则。他在《微分学基础》中通过函数的函数（即复合函数）的微分，给出了类似 的运算规则，但仍缺乏严格证明。

1.3 柯西的严格化

• 柯西（19世纪）提出了极限的严格定义，并在此基础上证明了链式法则。他的工作使得微积分的所有规则（包括链式法则）摆脱了对无穷小量的模糊依赖，成为分析学的核心工具。

1.4 现代教科书的推广（我也还不清楚）

• 20世纪后，随着实分析（Real Analysis）的发展，链式法则的证明被进一步严格化，尤其是处理了 Δu=0的边界情况（如魏尔斯特拉斯等人的贡献）。

为什么没有单一发明者？

~早期微积分的重点是解决物理问题（如天体运动），数学家更关注工具的有效性而非严格性。链式法则是复合函数求导的自然结果，其思想隐含在牛顿-莱布尼茨的符号体系中，后来才被明确抽象为通用规则。

二、链式求导法则的证明过程

使用极限定义来严格证明链式法则。（有同学可能会觉得老是要严格证明，很烦很烦，我不想说教，因为真的很烦，我也很讨厌）

这里我提供两个证明过程，第一个证明过程就是我们在教科书上看到的。我们先看完，我再评价。

写得十分简洁，和那本同济大学的高数教材是不是有异曲同工之妙。可是，你看懂了吗？你可能会回答我，我大概看懂了。当你对一个数学证明过程，感觉大概看懂时，就是一点没懂。不怪你，很多人到这个时候就会自卑自责，觉得是自己数学天赋不够的问题。

不，你给我站起来，不要怀疑自己。这些证明过程老是省去关键部分，压根不想让你看懂，让你去猜，就跟谈恋爱一样。谈恋爱还能猜对方心思，可是你自己写的证明过程，你不完完整整地跟我说，我怎么懂？所以，当你大学看不懂教科书时，大胆一点，是教科书的问题，不是你的问题，因为有些教科书就不说人话。你别看我啰嗦字多，但是我和你们一边唠嗑一边学习。一本书字数多少并不重要，关键的是能让读者轻松掌握这个知识，才是这本书的意义。

好。我们来分析——

这步能懂对吧？

这步也能懂对吧？

这步呢？我猜你似懂非懂，感觉起来是对的

你似懂非懂的原因有很多，我们看另外一种详细的证明过程，对比完应该就不用我解释了——