一、误差类型与误差来源

误差类型	误差来源	具体解释
模型误差	实际问题→物理模型	这个过程中，我们需要作一些假设、近似简化
模型误差	物理模型→一般数学模型	这个过程中，我们也需要做一些假设
测量误差	一般数学模型→具体数学模型	只有测量出一些参数、定解条件才能建立具体的数学模型，而测量时往往会产生误差
截断误差	具体数学模型→算法编程	在构造算法时，为了便于实现，还会再忽略一些影响小的地方
舍入误差	算法编程→上机计算	计算机以二进制方式存储数值，往往存在一些精度问题，从而产生误差。

注：上述误差中，我们重点研究的是截断误差。

二、绝对误差与相对误差

1、绝对误差与绝对误差限

• 定义1：
  设$x$是一个准确值，$x^{\ast }$是它的近似值。
  称$$e^{\ast }=x^{\ast }-x$$为近似值$x^{\ast }$的绝对误差，简称误差。
  
  实际上准确值$x$常常无法得到，因而无法求出绝对误差，一般只能估计出$e^{\ast }$的上界，即$$|e^{\ast }|=|x^{\ast }-x|\le {\epsilon }^{\ast }$$我们称${\epsilon }^{\ast }$为近似值$x^{\ast }$的绝对误差限。有了误差限${\epsilon }^{\ast }$，就能知道准确值$x$的范围$$x^{\ast }-{\epsilon }^{\ast }\le x\le x^{\ast }+{\epsilon }^{\ast }$$在工程上常用$x=x^{\ast }\pm {\epsilon }^{\ast }$来表示这个范围。

2、相对误差与相对误差限

• 定义2：
  设$x^{\ast }$为准确值$x$的一个近似值。
  称$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x}=\frac{x^{\ast }-x}{x}$$为近似值$x^{\ast }$的相对误差。
  
  实际计算中，由于准确值$x$往往无法得到，常常将相对误差取作$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}$$
  相对误差常常无法得到，只能估计它的大小范围。如果有正数${\epsilon }_r^{\ast }$，使得$$|e_r^{\ast }|=|\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}|\le {\epsilon }_r^{\ast }$$则称${\epsilon }_r^{\ast }$为近似值$x^{\ast }$的相对误差限。

三、有效数字

1、有效数字

• 定义3：
  设近似值$x^{\ast }$的误差限是某一位的半个单位，该位到$x^{\ast }$的第一位非零数字共有$n$位，就说$x^{\ast }$有n位有效数字。可表示为$$x^{\ast }=\pm 10^m\times (a_1+a_2\times 10^{-1}+\cdots +a_n\times 10^{-(n-1)})$$其中$a_i(i=1,2,\cdots ,n)$是0到9中的一个数字，$a_1\ne 0$，$m$为整数，且$$|x-x^{\ast }|\le \frac{1}{2}\times 10^{m-n+1}$$

举个例子吧，比如$x=\pi =3.14159265\cdots \times 10^0$，这里$m=0$，

近似值$x^{\ast }$	（绝对）误差限${\epsilon }^{\ast }$	有效数字
$3$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.14\le 0.5=\frac{1}{2}\times 10^0=\frac{1}{2}\times 10^{0-1+1}$	$1$位有效数字
$3.1$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.05\le 0.05=\frac{1}{2}\times 10^{-1}=\frac{1}{2}\times 10^{0-2+1}$	$2$位有效数字
$3.14$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.0016\le 0.005=\frac{1}{2}\times 10^{-2}=\frac{1}{2}\times 10^{0-3+1}$	$3$位有效数字
$3.142$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.0005\le 0.0005=\frac{1}{2}\times 10^{-3}=\frac{1}{2}\times 10^{0-4+1}$	$4$位有效数字
$3.1416$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.000008\le 0.00005=\frac{1}{2}\times 10^{-4}=\frac{1}{2}\times 10^{0-5+1}$	$5$位有效数字
\	\	\
$3.2$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.06\le 0.5=\frac{1}{2}\times 10^0=\frac{1}{2}\times 10^{0-1+1}$	$1$位有效数字
$3.15$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.009\le 0.05=\frac{1}{2}\times 10^{-1}=\frac{1}{2}\times 10^{0-2+1}$	$2$位有效数字
$3.141$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.0006\le 0.005=\frac{1}{2}\times 10^{-2}=\frac{1}{2}\times 10^{0-3+1}$	$3$位有效数字
$3.1415$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $\le 0.0001\le 0.0005=\frac{1}{2}\times 10^{-3}=\frac{1}{2}\times 10^{0-4+1}$	$4$位有效数字

再举个例子吧，比如$x=0.019283746=1.9283746\times 10^{-2}$，这里$m=-2$，

近似值$x^{\ast }$	（绝对）误差限${\epsilon }^{\ast }$	有效数字
$0.02$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000716254\le 0.005=\frac{1}{2}\times 10^{-2}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-1+1}$	$1$位有效数字
$0.019$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000283746\le 0.0005=\frac{1}{2}\times 10^{-3}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-2+1}$	$2$位有效数字
$0.0193$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000016254\le 0.00005=\frac{1}{2}\times 10^{-4}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-3+1}$	$3$位有效数字
$0.01928$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000003746\le 0.000005=\frac{1}{2}\times 10^{-5}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-4+1}$	$4$位有效数字
$0.019284$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000000254\le 0.0000005=\frac{1}{2}\times 10^{-6}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-5+1}$	$5$位有效数字
\	\	\
$0.020$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000716254\le 0.005=\frac{1}{2}\times 10^{-2}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-1+1}$	$1$位有效数字
$0.0192$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000083746\le 0.0005=\frac{1}{2}\times 10^{-3}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-2+1}$	$2$位有效数字
$0.01929$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000006254\le 0.00005=\frac{1}{2}\times 10^{-4}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-3+1}$	$3$位有效数字
$0.019283$	|$e^{\ast }$| $=$ |$x^{\ast }-x$| $=0.000000746\le 0.000005=\frac{1}{2}\times 10^{-5}=\frac{1}{2}\times 10^{-2-4+1}$	$4$位有效数字

观察上面两个例子，我们很容易得出以下结论：

• 小结1：
  如果近似数是由“四舍五入”得到的，显然绝对误差限${\epsilon }^{\ast }$会是最后单位的半个单位，因此最后一位是有效数位，因此从最后一位一直到其最左边第一个（“最左边第一个”需要从左往右数）非零数字之间的一切数字都是有效数字。

下面来看一道例题。

• 例题1：
  下面各数是经过“四舍五入”得到的近似值，室温他们各有即为有效数字？误差限是多少？$$-3.1433、0.01005、6\times 10^3、2\times 10^{-3}$$
  解：
  
  根据小结1中的结论，我们很容易根据近似值$x^{\ast }$，计算出有效位数$n$
  根据定义3中的不等式，我们很容易根据近似值$x^{\ast }$，计算出近似值科学计数法的幂指数$m$
  计算如下表所示：

  近似值$x^{\ast }$的科学计数法表示	有效位数$n$	近似值$x^{\ast }$科学计数法幂指数$m$	根据|$x-x^{\ast }$| $\le \frac{1}{2}\times 10^{m-n+1}$计算（绝对）误差限${\epsilon }^{\ast }$
  $-3.1433=-3.1433\times 10^0$	$5$	$0$	$\frac{1}{2}\times 10^{0-5+1}=\frac{1}{2}\times 10^{-4}$
  $0.01005=1.005\times 10^{-2}$	$4$	$-2$	$\frac{1}{2}\times 10^{-2-4+1}=\frac{1}{2}\times 10^{-5}$
  $6\times 10^3$	$1$	$3$	$\frac{1}{2}\times 10^{3-1+1}=\frac{1}{2}\times 10^3$
  $2\times 10^{-3}$	$1$	$-3$	$\frac{1}{2}\times 10^{-3-1+1}=\frac{1}{2}\times 10^{-3}$

2、有效数字与相对误差限的关系

有效数字与相对误差限的关系，有下面的定理。

• 定理1：
  设近似数$x^{\ast }$表示为$x^{\ast }=\pm 10^m\times (a_1+a_2\times 10^{-1}+\cdots +a_l\times 10^{-(l-1)})$，其中$a_i(i=1,2,\cdots ,n)$是0到9中的一个数字，$a_1\ne 0$，$m$为整数，
  • 若$x^{\ast }$具有$n$位有效数字，则其相对误差限$${\epsilon }_r^{\ast }\le \frac{1}{2a_1}\times 10^{-(n-1)}$$
  • 反之，若$x^{\ast }$的相对误差限${\epsilon }_r^{\ast }$满足$${\epsilon }_r^{\ast }\le \frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{-(n-1)}$$则$x^{\ast }$至少具有$n$位有效数字。

定理1实际上说明了：有效位数越多，相对误差限越少。

四、数值计算中的误差估计

1、两个近似值运算的误差限

• 结论1
  设两个近似值$x_1^{\ast }$与$x_2^{\ast }$的误差限分别为$\epsilon (x_1^{\ast })$、$\epsilon (x_2^{\ast })$，则将它们加、减、乘、除运算所得到的误差限分别满足以下不等式：
  • $\epsilon (x_1^{\ast }\pm x_2^{\ast })\le \epsilon (x_1^{\ast })+\epsilon (x_2^{\ast })$
  • $\epsilon (x_1^{\ast }{x}_2^{\ast })\le |x_1^{\ast }|\epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\epsilon (x_1^{\ast })$
  • $\epsilon (\frac{x_1^{\ast }}{x_2^{\ast }})\le \frac{\epsilon (x_1^{\ast }{x}_2^{\ast })\le |x_1^{\ast }|\epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\epsilon (x_1^{\ast })}{{|x_2^{\ast }|}^2}$，$x_2^{\ast }\ne 0$

2、近似值带入一元函数产生的误差

• 结论2
  根据泰勒公式，可知：$$|f(x)-f(x^{\ast })|\le |f^{\prime }(x^{\ast })|\epsilon (x^{\ast })+\frac{|f^{\prime \prime }(\xi )|}{2}{\epsilon }^2(x^{\ast })$$忽略高阶项，可得计算函数的误差限$$\epsilon \left(f\left(x^{\ast }\right)\right)\approx |f^{\prime }(x^{\ast })|\epsilon (x^{\ast })$$

3、近似值带入多元函数产生的误差

• 结论3
  设$A=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，$A^{\ast }=f(x_1^{\ast },x_2^{\ast },\cdots ,x_n^{\ast })$
  
  根据泰勒公式，可知，$A^{\ast }$的相对误差限为$${\epsilon }_r^{\ast }={\epsilon }_r(A^{\ast })=\frac{\epsilon (A^{\ast })}{|A^{\ast }|}\approx \sum _{k=1}^n\left|{\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)}^{\ast }\right|\cdot \frac{\epsilon \left(x_k^{\ast }\right)}{\left|A^{\ast }\right|}$$