本文比较研究了HSI中用于检测和分类的两个经典算法：Orthogonal subspace projection (OSP) 和 Constrained energy minimization (CEM)算法。

1. 介绍

线性解混通过将一个HSI中的像素表示为有限个端元的线性组合进行检测和分类。解混像元并找到端元对应的丰度值。有几种方法：奇异值分解（SVD）、子空间投影、最大似然法等等。这些模型都需要知道图像中端元的完整信息。实际情况中是没有这些先验信息的。因此，CEM算法被提出来解决这个问题。CEM算法只需要预先知道desired image endmembers, 不需要知道所有的端元信息。

OSP算法的数学模型：
r=Sα+n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1"> r = S \alpha + n </script> (1)
像素向量r, S是 K×p<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">K\times p </script>维光谱特征矩阵，si<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">s_i</script> 是第i个端元谱特征；α=[α1,α2,…,αp]T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-4"> \alpha = [\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_p]^T</script> 是 p×1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">p\times1</script>丰度矩阵。 n是 K×1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">K \times1</script> 向量，表示噪声或者模型误差。OSP模型中光谱特征矩阵S又被分为两部分，desired signature of interest d和undesired signature matrix U。假设s1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">s_1</script>是d，剩下的[s2,s3,…,sp]<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8"> [s_2,s_3,\dots,s_p]</script>是U，i.e. S = [dU]， 式 (1) 可以写做：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-9"> r = d\alpha_d + U \alpha_U + n \qquad (2)</script>
α表示丰度，不再赘述。在白噪声的假设下，OSP分类器的projectorPOSP<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">P_{OSP}</script>为
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-11"> P_{OSP} = P_{1/U} d \qquad (3)</script>
其中P1/U=I−U(UTU)−1UT<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">P_{1/U} = I -U (U^TU)^{-1}U^T</script>

在一些情况下我们只对某个特定的目标感兴趣，而且此时只有目标的光谱特性是已知的。CEM算法就是用来对付这样的问题的。有限冲激响应滤波器，没有线性组合的模型或者噪声模型。

一个理想的滤波器w 可以最小化能量并且满足限制条件 wTd=1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">w^Td=1</script>。
CEM一般在消除不确定信号源和压缩噪声上会优于OSP，但是CEM算法对已知的光谱特性d很敏感，稍微不同的会被认为是undesired或者unknown。解决办法1：找到d基于一个较大样本的表示；2计算R−1r<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">R_r^{-1}</script>时只取Rr中部分特征值和特征向量。

2. OSP和CEM之间的关系

噪声是白噪声且SNR比较大时，CEM和OSP算法是非常接近的。通过data whitening可以提高OSP的表现。

参考文献：
A Comparative Study for Orthogonal Subspace Projection and Constrained Energy Minimization