目录

一.高维数据向低维数据映射

二.实现自己封装的PCA

三.scikit-learn中的PCA

四.降噪

手写识别的例子

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一.高维数据向低维数据映射

m个样本，映射到k维

主成分分析得到前k个方向的矩阵Wk，W第一行是最重要的，第二行是次重要，以此类推。

• 高维向低维映射

• 低维数据恢复到高维

寻找一个坐标表示原来的样本，即主成分。找出前k个主成分，就可以将所有的样本映射到这k个轴上。

二.实现自己封装的PCA

PCA类：

先把w存到components_中去，其次是利用上面的计算公式，完成transform（高维向低维映射）

以及inverse_transform（低维向高维）

import numpy as np

class PCA:

    def __init__(self, n_components):
        """初始化PCA"""
        assert n_components >= 1, "n_components must be valid"
        self.n_components = n_components
        self.components_ = None

    def fit(self, X, eta=0.01, n_iters=1e4):
        """获得数据集X的前n个主成分"""
        assert self.n_components <= X.shape[1], \
            "n_components must not be greater than the feature number of X"

        def demean(X):
            return X - np.mean(X, axis=0)

        def f(w, X):
            return np.sum((X.dot(w) ** 2)) / len(X)

        def df(w, X):
            return X.T.dot(X.dot(w)) * 2. / len(X)

        def direction(w):
            return w / np.linalg.norm(w)

        def first_component(X, initial_w, eta=0.01, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):

            w = direction(initial_w)
            cur_iter = 0

            while cur_iter < n_iters:
                gradient = df(w, X)
                last_w = w
                w = w + eta * gradient
                w = direction(w)
                if (abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):
                    break

                cur_iter += 1

            return w

        X_pca = demean(X)
        self.components_ = np.empty(shape=(self.n_components, X.shape[1]))
        for i in range(self.n_components):
            initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])
            w = first_component(X_pca, initial_w, eta, n_iters)
            self.components_[i,:] = w

            X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1, 1) * w

        return self

    def transform(self, X):
        """将给定的X，映射到各个主成分分量中"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[1]

        return X.dot(self.components_.T)

    def inverse_transform(self, X):
        """将给定的X，反向映射回原来的特征空间"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[0]

        return X.dot(self.components_)

    def __repr__(self):
        return "PCA(n_components=%d)" % self.n_components

jupter中实现示例

三.scikit-learn中的PCA

使用真实数据

先使用对原始数据做一下分类，这里我们应用KNN算法

再对数据降维，用KNN分类

通过观察，如果选取降维的维数成为需要探索的问题。

pca.explained_variance_ratio_可查看成分依次可以解释的方差是多少

使用PCA对数据进行降维可视化，可以看出来，二维空间特征挺明显，降到二维有明显区分度。

四.降噪

降维的过程可以理解成是去噪。

手写识别的例子

去噪之前

使用pca去噪，保留成分解释的50%