特征方程和通项公式

如果数列$a_n$的递推公式：$a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}$------(1)

根据待定系数法，假设$a_n-x{a}_{n-1}=y(a_{n-1}-x{a}_{n-2})$-----（2）
（1）和（2）比较得

根据韦达定理，$x,y$是方程$t^2-c_{1}t-c_2=0$的两个根，我们也将这个方程称为数列$a_n$的特征方程

根据方程（2）可以推出$a_n-x{a}_{n-1}=y^{n-1}(a_1-x{a}_0)$（等比数列）-----（3）

下面我们将两个根$t_1,t_2$分别带入方程（3）得

将$(5)\ast t_1-(4)\ast t_2$得

$(t_1-t_2)a_n=(a_1-t_2{a}_0)t_1^n-(a_1-t_1{a}_0)t_2^n$

再整理得

$a_n=\frac{a_1-t_2{a}_0}{t_1-t_2}{t}_1^n-\frac{a_1-t_1{a}_0}{t_1-t_2}{t}_2^n$

而$a_0,a_1,t_1,t_2$均已知，可当作常项，于是$a_n$的通项公式：

$a_n=A{t}_1^n+B{t}_2^n$
$t_1,t_2$是特征方程的两个根
$A,B$为常项，一般通过待定系数法求出

斐波那契通项公式

斐波那契数列的递推公式：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$

于是特征方程为：$x^2-x-1=0$的两个根：$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

则$a_n=A{x}_1^n+B{x}_2^n$，将$a_1=1,a_2=1$带入可求得$A=\frac{1}{\sqrt{5}},B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

即通项公式：$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n]$