一、MaxPooling前向传播与反向传播

MaxPooling就是对卷积区域进行最大值计算。
1、MaxPooling池化区域与步长相同时，即只对最大区域进行梯度计算，最后将梯度平均到四个区域中。
$$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 5& 2& 4& 6\\ 9& 6& 1& 2\\ 3& 4& 5& 6\end{array}conv(2,2)stride=2>\begin{array}{cc}5& 6\\ 9& 6\end{array}梯度坐标>\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}梯度值>\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0.25& 0& 0& 0.25\\ 0.25& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0.25\end{array}\end{array}$$
下图中，红色的框表示池化区域，得到5，而对应的下标计数为1，最后将所有的梯度平均。1/4

2、MaxPooling池化区域与步长不相同时，进行池化操作之后，对于重复出现的最大值进行重复计数，最后再根据计数进行梯度平均。
$$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 5& 2& 4& 6\\ 9& 6& 1& 2\\ 3& 4& 5& 6\end{array}conv(2,2)stride=1>\begin{array}{ccc}5& 4& 6\\ 9& 6& 6\\ 9& 6& 6\end{array}梯度坐标>\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 2\\ 2& 2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}梯度值>\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0.11& 0.11& 0& 0.22\\ 0.22& 0.22& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0.11\end{array}\end{array}$$
当步长小于池化区域时，存在重叠区域，那么将进行重复计算，对应梯度也按照权重分配。

上图中，5、4分别是最大值，因此梯度计数回到对应的位置分别为1。下图中，绿、红的最大值均为6，因此被计数两次，梯度坐标为2。

二、AvgPooling前向传播与反向传播

AvgPooling就是对卷积区域进行均值计算。
1、AvgPooling池化区域与步长相同时，对全局进行梯度平均。
$$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 5& 2& 4& 6\\ 9& 6& 1& 2\\ 3& 4& 5& 6\end{array}conv(2,2)stride=2>\begin{array}{cc}2.75& 3.75\\ 5.5& 3.5\end{array}梯度坐标>\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}梯度值>\begin{array}{cccc}0.0265& 0.0265& 0.0265& 0.0265\\ 0.0265& 0.0265& 0.0265& 0.0265\\ 0.0265& 0.0265& 0.0265& 0.0265\\ 0.0265& 0.0265& 0.0265& 0.0265\end{array}\end{array}$$
2、AvgPooling池化区域与步长不相同时，对全局按照重叠区域进行权重平均。对重复计算的区域进行重复计数。
$$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 5& 2& 4& 6\\ 9& 6& 1& 2\\ 3& 4& 5& 6\end{array}conv(2,2)stride=1>\begin{array}{ccc}2.75& 2.5& 3.75\\ 5.5& 3.25& 3.25\\ 5.5& 4& 3.5\end{array}梯度坐标>\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 2& 4& 4& 2\\ 2& 4& 4& 2\\ 1& 2& 2& 1\end{array}梯度值>\begin{array}{cccc}0.0287& 0.0556& 0.0556& 0.0287\\ 0.0556& 0.1111& 0.1111& 0.0556\\ 0.0556& 0.1111& 0.1111& 0.0556\\ 0.0287& 0.0265& 0.0265& 0.0287\end{array}\end{array}$$
这里把重复计数问题通过滑动窗口的形式表现出来：

左图中数字1，在进行平均池化计算时，由于会被红色个窗口进行平均计算，因此梯度坐标为1，即均值计算计数为1；3经过红、黑两个窗口进行均值计算，计数梯度为2；2这个数字经过红、黑、绿、粉四个窗口进行均值计算，因此计数为4。

三、代码

import torch
import numpy as np
img = np.array([
        [1,3,1,4],
        [5,2,4,6],
        [9,6,1,2],
        [3,4,5,6],])
img = img.astype(np.float)
img = torch.tensor(img,requires_grad=True).float()
img = img.unsqueeze(0)
img.retain_grad() #保留梯度
pool = torch.nn.functional.avg_pool2d(img,kernel_size=(2,2),stride=1) #平均池化
# pool = torch.nn.functional.max_pool2d(vara,kernel_size=(2,2),stride=1) # 最大池化
print(pool) #池化结果
pool = torch.mean(pool) #均值计算
pool.backward() #梯度回传
print(img.grad) #输出梯度

代码参考