广义特征值问题是在线性代数中一个重要的概念，它扩展了标准特征值问题的概念，即从 $Ax=\lambda x$ 扩展到 $Ax=\lambda Bx$ 的形式，其中 $A$ 和 $B$ 都是矩阵，足此方程的 λ 为广义特征值，对应的向量 x 为广义特征向量。

这种类型的特征值问题在工程、物理和数学的许多领域都有应用，特别是在那些涉及偏微分方程、振动分析、稳定性分析等方面。

广义特征值问题的公式

广义特征值问题的基本形式是：
$$Ax=\lambda Bx$$

这里， $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 的矩阵，而 $x$ 是 $n$ -维的非零向量（$\lambda$ 特征值对应的特征向量）， $\lambda$ 是特征值。

对公式的每个字符的解释

• $A$ ：这是一个 $n\times n$ 的矩阵，通常它是实对称矩阵或者复厄米特矩阵。在一些应用中，它可以表示系统的线性算子。

• $B$ ：这也是一个 $n\times n$ 的矩阵，通常要求它是正定的，这意味着对于任何非零向量 $v$ ，有 $v^{T}Bv>0$ 。在某些情况下， $B$ 可以是单位矩阵 $I$ ，此时问题退化为标准的特征值问题。

• $x$ ：这是一个 $n$ -维的非零向量，称为特征向量。它是广义特征值问题的一个解决方案，它与特定的特征值 $\lambda$ 相关联。

• $\lambda$ ：这是广义特征值，它是一个标量，可以是实数也可以是复数。它与特征向量 $x$ 一起解决了广义特征值问题。

广义特征值问题的求解

求解广义特征值问题通常需要将问题转化为一个标准的特征值问题。
一个常见的方法是使用 $B$ 的逆矩阵（如果 $B$ 是可逆的），这样问题可以写为：
$$(B^{-1}A)x=\lambda x$$

另一种方法是直接求解行列式等于零的方程：
$$\det (A-\lambda B)=0$$

这个方程的根给出了广义特征值 $\lambda$ 。

特殊情况

当 $B$ 是单位矩阵 $I$ 时，广义特征值问题简化为标准的特征值问题：
$$Ax=\lambda x$$

在这种情况下， $\lambda$ 就是 $A$ 的标准特征值，而 $x$ 是对应的特征向量。