雷诺输运定理

雷诺输运定理可以用来求解区域变动的可压缩问题，它最常见的形式为：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega (t)}f\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\Omega (t)}\dot{f}+f\text{div}\mathbf{v}\mathrm{d}\mathrm{x}$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega (t)}f\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\Omega (t)}\frac{\partial f}{\partial t}+\text{div}(f\mathbf{v})\mathrm{d}\mathrm{x}$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega (t)}f\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\Omega (t)}\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\right)f\mathrm{d}\mathrm{s}$$

雷诺输运定理的证明

雷诺输运定理描述的是微分符号如何放到求导符号里面的问题，它的一个表述如下：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega (t)}\mathbf{f}\mathrm{d}\mathrm{V}={\int }_{\Omega (t)}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}\mathrm{d}\mathrm{V}+{\int }_{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\right)\mathbf{f}\mathrm{d}\mathrm{A}$$
其中的$\Omega (t)$是边界变化的一个区域，物理量$\mathbf{f}$可以是向量或者标量，$\mathbf{v}$是某一点的速度，$\mathbf{n}$是区域表明的单位外法向量。

下面给一个简单的证明。

不妨假设$\mathbf{f}$为标量，即令$\mathbf{f}=\rho (x,t)$。我们可以通过一个变换，将时变的区域都变换到一个和时间无关的标准区域，即令$x=\xi (\tilde{x},t)$，$\tilde{x}$是标准区域上的空间变量。这个标准区域长什么样子没有太大关系，因为变过去，最后还要变回来。

那么有(为了书写的简洁方便，可能在公式中会将雅克比行列式写为$J$，以及省略掉比较明显的函数自变量)：
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega (t)}\rho (x,t)\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }\rho (\xi (\tilde{x},t),t)|{\xi }_{\tilde{x}}|\mathrm{d}\tilde{x}={\int }_{\Omega }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\rho (\xi (\tilde{x},t),t)|{\xi }_{\tilde{x}}|)\mathrm{d}\tilde{x} \\ ={\int }_{\Omega }J\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}\mathrm{t}}+\rho \frac{\mathrm{d}\mathrm{J}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\mathrm{d}\tilde{x}={\int }_{\Omega }J(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla \rho )+\rho (\nabla \cdot \mathbf{v}\cdot J)\mathrm{d}\tilde{x} \\ ={\int }_{\Omega }J\frac{\partial \rho }{\partial t}+J\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})\mathrm{d}\tilde{x}={\int }_{\Omega (t)}\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})\mathrm{d}x={\int }_{\Omega (t)}\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}x+{\int }_{\partial \Omega (t)}(\rho \mathbf{v}\cdot \mathbf{n})\mathrm{d}s \end{gathered}$$

即证。

注意到，这个过程中，我们用到了物质导数以及对行列式求导的公式$\mathrm{d}J/dt=\nabla \cdot \mathbf{v}\cdot J$。
事实上，容易验证：
$$\frac{\partial J(\tilde{\mathbf{x}},t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(\det \mathbf{F})=(\det \mathbf{F})(\nabla \cdot \mathbf{v})=J(\tilde{\mathbf{x}},t)\nabla \cdot \mathbf{v}(\xi (\tilde{\mathbf{x}},t),t)=J(\tilde{\mathbf{x}},t)\nabla \cdot \mathbf{v}(\tilde{\mathbf{x}},t)$$

$\mathbf{F}$为雅克比矩阵。