证明arcsinx+arccosx=π/2，并且为什么arcsinx-arccosx=π/2不成立
下面我们先直接用代数式来证明一下：设y1=arcsinx，y2=arccosx，求y1+y2由于x=siny1=cosy2，而cosy2=sin(y2+π2)那么就得到y1=y2+π2，即y1−y2=π2但我们说这样不成立，为什么？ 为了弄清原因，我们结合反三角函数的定义域、值域和图像来进行分析如下图所示。实际上arcsinx只取sinx在[−π2,π2]的那一段图像做关于y=x的对称而arccosx只取cosx在[0,π]的那一段图像做关于y=x的对称因此在上述推导过程中，y1的范围是[−π2,π2]，y2的范围是[0,π] sin(y2+π2)的范围是[π2,3π2]不属于[−π2,π2]的范围因此sin(y2+π2)不成立 那如何推出正确的结论呢？由于cosx是偶函数，因此cosy2=cos(−y2)=sin(−y2+π2)sin(−y2+π2)的范围是[−π2,π2]，因此成立最终有x=siny1=cosy2=cos(−y2)=sin(−y2+π2)因此y1=−y2+π2，即y1+y2=π2即arcsinx+arccosx≡π2
下面我们先直接用代数式来证明一下： \\
设y_1=\arcsin x，y_2=\arccos x，求y_1+y_2 \\
由于x=\sin y_1=\cos y_2，而\cos y_2=\sin(y_2+\frac{\pi}{2}) \\
那么就得到y_1=y_2+\frac{\pi}{2}，即y_1-y_2=\frac{\pi}{2} \\
但我们说这样不成立，为什么？\\
\,\\
为了弄清原因，我们结合反三角函数的定义域、值域和图像来进行分析 \\
如下图所示。\\
实际上\arcsin x只取\sin x在[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]的那一段图像做关于y=x的对称 \\
而\arccos x只取\cos x在[0,\pi]的那一段图像做关于y=x的对称 \\
因此在上述推导过程中，y_1的范围是[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，y_2的范围是[0,\pi] \\
\,\\
\sin(y_2+\frac{\pi}{2})的范围是[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]不属于[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]的范围 \\
因此\sin(y_2+\frac{\pi}{2})不成立 \\
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那如何推出正确的结论呢？\\
由于\cos x是偶函数，因此\cos y_2=\cos(-y_2)=\sin(-y_2+\frac{\pi}{2}) \\
\sin(-y_2+\frac{\pi}{2})的范围是[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，因此成立 \\
最终有x=\sin y_1=\cos y_2=\cos(-y_2)=\sin(-y_2+\frac{\pi}{2}) \\
因此y_1=-y_2+\frac{\pi}{2}，即y_1+y_2=\frac{\pi}{2} \\
即\arcsin x+\arccos x\equiv\frac{\pi}{2}
下面我们先直接用代数式来证明一下：设y1=arcsinx，y2=arccosx，求y1+y2由于x=siny1=cosy2，而cosy2=sin(y2+2π)那么就得到y1=y2+2π，即y1−y2=2π但我们说这样不成立，为什么？为了弄清原因，我们结合反三角函数的定义域、值域和图像来进行分析如下图所示。实际上arcsinx只取sinx在[−2π,2π]的那一段图像做关于y=x的对称而arccosx只取cosx在[0,π]的那一段图像做关于y=x的对称因此在上述推导过程中，y1的范围是[−2π,2π]，y2的范围是[0,π]sin(y2+2π)的范围是[2π,23π]不属于[−2π,2π]的范围因此sin(y2+2π)不成立那如何推出正确的结论呢？由于cosx是偶函数，因此cosy2=cos(−y2)=sin(−y2+2π)sin(−y2+2π)的范围是[−2π,2π]，因此成立最终有x=siny1=cosy2=cos(−y2)=sin(−y2+2π)因此y1=−y2+2π，即y1+y2=2π即arcsinx+arccosx≡2π
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