§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数的单调性

1. 函数单调性定义回顾

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subseteq D$。

• 如果对任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加（或单调递增）。
• 如果对任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少（或单调递减）。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

2. 几何上直观分析

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上每一点都可导，这意味着曲线上每一点都有切线。我们可以从几何上观察切线的斜率（即导数）与函数单调性的关系，如图：

• (1) 单调递增: 若曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递增的，那么在该区间内，曲线上每一点的切线与 $x$ 轴正向的夹角 $\alpha$ 满足 $0\le \alpha <\frac{\pi }{2}$ (或者 $\alpha$ 接近 $\frac{\pi }{2}$ 但不垂直)。这意味着切线的斜率 $k=\tan \alpha \ge 0$。如果严格递增，我们通常期望斜率大于 0，即 $f^{\prime }(x)>0$。

• (2) 单调递减: 若曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递减的，那么在该区间内，曲线上每一点的切线与 $x$ 轴正向的夹角 $\alpha$ 满足 $\frac{\pi }{2}<\alpha \le \pi$。这意味着切线的斜率 $k=\tan \alpha \le 0$。如果严格递减，我们通常期望斜率小于 0，即 $f^{\prime }(x)<0$。

问题： 这个直观观察反过来是否成立？即：

• 若 $f^{\prime }(x)>0$，曲线是不是一定单调递增？
• 若 $f^{\prime }(x)<0$，曲线是不是一定单调递减？

答案是肯定的，这由下面的判别法给出。

3. 函数单调性判别法

定理： 设函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导。

1. 若对任意 $x\in (a,b)$ 都有 $f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递增。
2. 若对任意 $x\in (a,b)$ 都有 $f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递减。

证明：
取任意 $x_1,x_2\in (a,b)$，且 $x_1<x_2$。
由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，它必然在闭区间 $[x_1,x_2]$ 上连续，并在开区间 $(x_1,x_2)$ 内可导。因此满足拉格朗日中值定理的条件。
根据拉格朗日中值定理，存在一点 $\xi \in (x_1,x_2)$，使得：
$$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)$$
因为 $x_1<x_2$，所以 $x_2-x_1>0$。

1. 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)>0$，则 $f^{\prime }(\xi )>0$。因此 $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)>0$，即 $f(x_2)>f(x_1)$。根据定义，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递增。
2. 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)<0$，则 $f^{\prime }(\xi )<0$。因此 $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)<0$，即 $f(x_2)<f(x_1)$。根据定义，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递减。
   证毕。

注：

1. 如果 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内满足 $f^{\prime }(x)\ge 0$ (或 $f^{\prime }(x)\le 0$)，并且使得 $f^{\prime }(x)=0$ 的点只有有限个（或者更一般地，在任何子区间内都不恒等于0），则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内仍然是严格单调递增（或严格单调递减）的。
   例如：函数 $y=x^3$，$y^{\prime }=3x^2$。在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上 $y^{\prime }>0$，在 $x=0$ 处 $y^{\prime }=0$。但 $y=x^3$ 在整个 $(-\infty ,+\infty )$ 上是严格单调递增的。
2. 判别函数单调性或求单调区间的步骤：
   • 确定函数的定义域 $D$。
   • 计算导数 $f^{\prime }(x)$。
   • 令 $f^{\prime }(x)=0$，解出所有实根（称为驻点）。找出 $f^{\prime }(x)$ 不存在的点（不可导点）。
   • 用这些驻点和不可导点将定义域 $D$ 划分成若干个开区间。
   • 在每个开区间内任取一点，计算 $f^{\prime }(x)$ 的符号。根据判别法确定 $f(x)$ 在该区间上的单调性。
   • 将相邻的同单调性的区间（如果函数在连接点处连续）合并，得到最终的单调区间。

示例

例 1 求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间。
解： (待补充)

例 2 讨论 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 的单调性。
解： (待补充)

例 3 证明：当 $x>1$ 时，$2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$。
证明： (构造辅助函数，利用单调性证明。待补充)

例 4 证明：当 $x>0$ 时，$\sin x>x-\frac{x^3}{6}$。
证明： (构造辅助函数 $f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}$，利用导数判断单调性。待补充)

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二、曲线的凹凸性及拐点

1. 观察 $y=x^2$，$y=\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 内的单调性

在区间 $(0,+\infty )$ 内，$y=x^2$ 和 $y=\sqrt{x}$ 都是单调递增的函数。但是它们的图像形态不同：

• $y=x^2$ 的图像是向上弯曲的，或者说是“向下凹”的。
• $y=\sqrt{x}$ 的图像是向下弯曲的，或者说是“向上凹”的。

(注：这里的“向上/向下凹”可能与某些教材定义相反，下面将采用更标准的定义。“向下鼓鼓”对应凹，“向上鼓鼓”对应凸)

我们引入凹 (Concave Up) 和 凸 (Concave Down) 的概念来描述曲线的这种弯曲方向。

2. 几何分析

• (1) 凹的曲线 (Concave Up / 原文: 向下鼓鼓的):
  

  • 几何特征 1: 曲线上任意两点 $A,B$ 连接成的弦 $AB$ 位于对应弧 $AB$ 的上方。
  • 几何特征 2: 曲线位于其每一点切线的上方（除了切点本身）。
  • 几何特征 3: 对于区间内任意 $x_1,x_2$，有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ （中点函数值小于函数值中点）。
  • 几何特征 4: 曲线上各点处的切线斜率 $f^{\prime }(x)$ 随着 $x$ 的增大而逐渐增大，即 $f^{\prime }(x)$ 是增函数。

• (2) 凸的曲线 (Concave Down / 原文: 向上鼓鼓的):
  

  • 几何特征 1: 曲线上任意两点 $A,B$ 连接成的弦 $AB$ 位于对应弧 $AB$ 的下方。
  • 几何特征 2: 曲线位于其每一点切线的下方（除了切点本身）。
  • 几何特征 3: 对于区间内任意 $x_1,x_2$，有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ （中点函数值大于函数值中点）。
  • 几何特征 4: 曲线上各点处的切线斜率 $f^{\prime }(x)$ 随着 $x$ 的增大而逐渐减少，即 $f^{\prime }(x)$ 是减函数。

3. 定义 (凹凸性)

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续。

• 若对 $I$ 内任意两点 $x_1,x_2$，恒有
  $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$
  则称曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是凹的 (Concave Up)。
• 若对 $I$ 内任意两点 $x_1,x_2$，恒有
  $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$
  则称曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是凸的 (Concave Down)。

(注意：国内部分教材对凹凸的定义可能与此相反，请以课堂或教材为准。这里采用的是 $f^{\prime \prime }>0$ 对应凹， $f^{\prime \prime }<0$ 对应凸的常见定义。)

4. 曲线凹凸性判别法

定理： 设函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内具有二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$。

1. 若在 $(a,b)$ 内恒有 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是凹的 (Concave Up)。
2. 若在 $(a,b)$ 内恒有 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是凸的 (Concave Down)。

证明思路：
取 $(a,b)$ 内任意 $x_1,x_2$ 且 $x_1<x_2$。令 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$。
对 $f(x)$ 在 $[x_1,x_0]$ 和 $[x_0,x_2]$ 上分别应用拉格朗日中值定理：
存在 ${\xi }_1\in (x_1,x_0)$ 使得 $f(x_0)-f(x_1)=f^{\prime }({\xi }_1)(x_0-x_1)=f^{\prime }({\xi }_1)\frac{x_2-x_1}{2}$
存在 ${\xi }_2\in (x_0,x_2)$ 使得 $f(x_2)-f(x_0)=f^{\prime }({\xi }_2)(x_2-x_0)=f^{\prime }({\xi }_2)\frac{x_2-x_1}{2}$
两式相减，得到 $f(x_1)+f(x_2)-2f(x_0)=(f^{\prime }({\xi }_2)-f^{\prime }({\xi }_1))\frac{x_2-x_1}{2}$。

由于 $x_1<{\xi }_1<x_0<{\xi }_2<x_2$，可知 ${\xi }_1<{\xi }_2$。
对 $f^{\prime }(x)$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)$ 使得：
$f^{\prime }({\xi }_2)-f^{\prime }({\xi }_1)=f^{\prime \prime }(\xi )({\xi }_2-{\xi }_1)$

代入上式：
$$f(x_1)+f(x_2)-2f(x_0)=f^{\prime \prime }(\xi )({\xi }_2-{\xi }_1)\frac{x_2-x_1}{2}$$
因为 ${\xi }_2-{\xi }_1>0$ 且 $x_2-x_1>0$，所以 $f(x_1)+f(x_2)-2f(x_0)$ 的符号与 $f^{\prime \prime }(\xi )$ 的符号相同。

1. 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则 $f^{\prime \prime }(\xi )>0$，所以 $f(x_1)+f(x_2)-2f(x_0)>0$，即 $f(x_0)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。曲线是凹的。
2. 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则 $f^{\prime \prime }(\xi )<0$，所以 $f(x_1)+f(x_2)-2f(x_0)<0$，即 $f(x_0)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。曲线是凸的。
   证毕。

例题 1：

判别下列曲线的凹凸性：

1. $y=\ln x$
   解： (待补充)
2. $y=x^3$
   解： (待补充)

5. 拐点 (Inflection Points)

• (1) 定义:
  曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。如果曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 两侧的凹凸性不同，则称点 $(x_0,f(x_0))$ 为该曲线的一个拐点。

• (2) 拐点的求法:
  步骤：

  1. 确定函数的定义域。
  2. 求二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$。
  3. 找出使 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的点，以及 $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在的点。这些点是可能的拐点的横坐标（拐点的“嫌疑点”）。
  4. 用这些点将定义域划分为若干区间。
  5. 在每个区间内判断 $f^{\prime \prime }(x)$ 的符号，以确定曲线在各区间的凹凸性。
  6. 检查在步骤 3 找到的每个“嫌疑点” $x_0$ 两侧，曲线的凹凸性是否确实发生了改变。如果改变了，并且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $(x_0,f(x_0))$ 是一个拐点。

• (3) 拐点判别法 (充分条件):
  定理： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内具有三阶导数，并且 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$， $f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$。则点 $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一个拐点。

  证明思路：
  不妨设 $f^{\prime \prime \prime }(x_0)>0$。根据三阶导数的定义：
  $$f^{\prime \prime \prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x-x_0}>0$$
  由极限的局部保号性可知，在 $x_0$ 的某个去心邻域内， $\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x-x_0}>0$。

  • 当 $x$ 在 $x_0$ 的左侧附近时 ($x<x_0$)，$x-x_0<0$，因此必有 $f^{\prime \prime }(x)<0$，曲线是凸的。
  • 当 $x$ 在 $x_0$ 的右侧附近时 ($x>x_0$)，$x-x_0>0$，因此必有 $f^{\prime \prime }(x)>0$，曲线是凹的。
    由于在 $x_0$ 两侧凹凸性改变，所以 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。
    若 $f^{\prime \prime \prime }(x_0)<0$，同理可证。
    证毕。

  注意： $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 是拐点的必要条件（如果二阶导存在），但不是充分条件（如 $y=x^4$ 在 $x=0$ 处 $f^{\prime \prime }(0)=0$ 但不是拐点）。$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$ 提供了一个充分条件。如果 $f^{\prime \prime \prime }(x_0)=0$，则需要考察更高阶导数或直接判断 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧的符号。

更多例题

例 2 求 $y=x^4-2x^2+1$ 的凹向区间及拐点。
解： (待补充)

例 3 求 $y=(x-2{)}^{\frac{5}{3}}$ 的凹向区间及拐点。
解： (注意二阶导数不存在的点。待补充)

例 4 求 $y=x^3$ 的凹向区间及拐点。
解： (使用 $f^{\prime \prime \prime }(x_0)$ 判断。待补充)

例 5 若曲线 $y=x^3+a{x}^2+bx+1$ 有拐点 $(-1,0)$，求 $a,b$ 的值。
解： (利用拐点定义和 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$。待补充)

例 6 求 $f(x)=x^3$ 的拐点。
解： (同例4，再次确认。待补充)

例 7 (Jensen不等式特例) 证明：当 $x>0,y>0,x\ne y,n>1$ 时，
$$\frac{x^n+y^n}{2}>{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^n$$
证明： (考虑函数 $f(t)=t^n$ 的凹凸性。待补充)

§3.5 函数的极值与最值

一、极值的定义

定义： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)=(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 内有定义。

• 如果对于任意属于该邻域的 $x$ ($x\ne x_0$)，恒有 $f(x)<f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值 (Local Maximum)，称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个极大值点。
• 如果对于任意属于该邻域的 $x$ ($x\ne x_0$)，恒有 $f(x)>f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极小值 (Local Minimum)，称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个极小值点。

极大值和极小值统称为极值 (Local Extremum)，极大值点和极小值点统称为极值点。

注：

1. 局部性: 极值是一个局部概念，反映的是函数 的局部性质，即在点 附近的性质。如图：区间内部高峰处是极大值，低谷处是极小值。
2. 内部点: 极值不可能在区间的端点处取得。根据定义，极值点必须是定义域区间的内部点。函数在区间的端点处取得的值不是极值。

二、取极值的条件

1. 必要条件

定理 1 (费马定理 - Fermat’s Theorem on Local Extrema):
如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足以下两个条件：
(a) $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极值；
(b) $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，即 $f^{\prime }(x_0)$ 存在；
则必有 $f^{\prime }(x_0)=0$。

证明：
不妨设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。根据定义，存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0)$，对任意 $x\in U(x_0)$，有 $f(x)\le f(x_0)$，即 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\le 0$ (当 $x_0+\Delta x\in U(x_0)$ 时)。

1. 当 $\Delta x<0$ 时（即 $x_0+\Delta x$ 在 $x_0$ 左侧），$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\ge 0$。
   因此，左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\ge 0$。

2. 当 $\Delta x>0$ 时（即 $x_0+\Delta x$ 在 $x_0$ 右侧），$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\le 0$。
   因此，右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\le 0$。

因为 $f^{\prime }(x_0)$ 存在，所以 $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$。
结合上述两个不等式，必有 $f^{\prime }(x_0)=0$。
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极小值，证明类似。
证毕。

注：

1. 几何意义: 该定理表明，可导函数在极值点处的切线一定是水平的（平行于 x 轴）。
2. 逆命题不成立: $f^{\prime }(x_0)=0$ 只是函数在 $x_0$ 取得极值的必要条件，而非充分条件。即满足 $f^{\prime }(x_0)=0$ 的点 $x_0$ 不一定是极值点。
   例如：$f(x)=x^3$，$f^{\prime }(x)=3x^2$。$f^{\prime }(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值点（函数在该点严格递增）。满足 $f^{\prime }(x)=0$ 的点称为驻点 (Stationary Point) 或 临界点 (Critical Point) 的一种。
3. 不可导点: 如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不可导，那么 $x_0$ 仍然可能是极值点。
   例如：$f(x)=|x|$。在 $x=0$ 处函数取得极小值 $f(0)=0$，但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。函数不可导的点也是临界点。

总结： 函数 $f(x)$ 的极值点只能在驻点（$f^{\prime }(x_0)=0$）或导数不存在的点处取得。这些点是极值点的“嫌疑点”或候选点，需要进一步的判别。

2. 充分条件

下面介绍判别驻点或不可导点是否为极值点的方法。，记作$\stackrel{\circ }{U}(x_0)$，

(1) 第一充分判别法 (First Derivative Test)

定理 2： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某个去心邻域 $\stackrel{\circ }{U}(x_0)=(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$ 内可导。

1. 如果对于 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 有 $f^{\prime }(x)>0$，而对于 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 有 $f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。 (导数由正变负)
2. 如果对于 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 有 $f^{\prime }(x)<0$，而对于 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 有 $f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。 (导数由负变正)
3. 如果 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧的符号相同（即对于 $x\in U^{\circ }(x_0)$ 恒有 $f^{\prime }(x)>0$ 或 $f^{\prime }(x)<0$），则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不取极值。

(证明：略。) (可以通过考察函数在 $x_0$ 左右两侧的单调性来证明。)

使用第一充分判别法求极值的步骤：

1. 确定函数的定义域。
2. 计算导数 $f^{\prime }(x)$。
3. 找出所有驻点（使 $f^{\prime }(x)=0$ 的点）和导数不存在的点。这些是极值的候选点。
4. 用这些候选点将定义域划分为若干个开区间。
5. 检查 $f^{\prime }(x)$ 在每个区间内的符号。
6. 根据定理 2，判断在每个候选点处， $f^{\prime }(x)$ 的符号是否发生变化以及如何变化，从而确定该点是否为极值点以及是极大值点还是极小值点。
7. 计算出极值（即极值点处的函数值）。

示例：

例 1： 求 $f(x)=(x-1{)}^2(x+1{)}^3$ 的极值。
(解：待补充)

例 2： 求 $f(x)=x-\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$ 的极值。
(解：注意 $x=0$ 是不可导点。待补充)

(2) 第二充分判别法 (Second Derivative Test)

定理 3： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足 $f^{\prime }(x_0)=0$（即 $x_0$ 是驻点），并且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，即 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 存在。

1. 若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。
2. 若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。
3. 若 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$，则此方法失效，不能判断 $x_0$ 是否为极值点，需要用其他方法（如第一充分条件）。

证明思路：
利用 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 的定义和极限的局部保号性。
$f^{\prime \prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}$ （因为 $f^{\prime }(x_0)=0$）

1. 若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}<0$。由保号性，在 $x_0$ 的某个去心邻域内 $\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}<0$，即 $f^{\prime }(x)$ 与 $x-x_0$ 异号。

   • 当 $x<x_0$ 时，$x-x_0<0$，则 $f^{\prime }(x)>0$。
   • 当 $x>x_0$ 时，$x-x_0>0$，则 $f^{\prime }(x)<0$。
     根据第一充分判别法， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极大值。

2. 若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}>0$。由保号性，在 $x_0$ 的某个去心邻域内 $\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}>0$，即 $f^{\prime }(x)$ 与 $x-x_0$ 同号。

   • 当 $x<x_0$ 时，$x-x_0<0$，则 $f^{\prime }(x)<0$。
   • 当 $x>x_0$ 时，$x-x_0>0$，则 $f^{\prime }(x)>0$。
     根据第一充分判别法， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极小值。
     证毕。

注：

1. 当 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 时，第二充分判别法失效。例如 $f(x)=x^3$ 和 $g(x)=x^4$ 在 $x=0$ 处都有 $f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=0$，但 $x=0$ 对 $f(x)$ 不是极值点，对 $g(x)$ 是极小值点。此时应使用第一充分判别法或其他更高阶导数判别法。
2. 第二充分判别法仅适用于驻点，不能用于判别导数不存在的点。

示例：

例 3： 求 $f(x)=x^3-3x$ 的极值。
(解：待补充)

例 4： 求 $f(x)=(x^2-1{)}^3+1$ 的极值。
(解：待补充)

(3) 第三充分判别法 (Higher Order Derivative Test)

定理 4: 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导 ($n\ge 2$)，并且满足：
$$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$$
但 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$。

1. 如果 $n$ 是奇数，则 $x_0$ 不是极值点。
2. 如果 $n$ 是偶数：
   • 若 $f^{(n)}(x_0)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。
   • 若 $f^{(n)}(x_0)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

证明思路：
利用带Peano余项的Taylor公式在 $x_0$ 处展开：
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0{)}^{n-1}+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$
根据条件，上式变为：
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$
所以
$$f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$
当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，$f(x)-f(x_0)$ 的符号由主项 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ 的符号决定。

1. 当 $n$ 为奇数时， $(x-x_0{)}^n$ 在 $x_0$ 两侧异号。因此 $f(x)-f(x_0)$ 在 $x_0$ 两侧异号， $x_0$ 不是极值点。
2. 当 $n$ 为偶数时， $(x-x_0{)}^n>0$ (对于 $x\ne x_0$)。
   • 若 $f^{(n)}(x_0)<0$，则 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}<0$，导致 $f(x)-f(x_0)<0$，即 $f(x)<f(x_0)$。所以 $f(x_0)$ 是极大值。
   • 若 $f^{(n)}(x_0)>0$，则 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}>0$，导致 $f(x)-f(x_0)>0$，即 $f(x)>f(x_0)$。所以 $f(x_0)$ 是极小值。
     证毕。

三、最大值与最小值

最大值 (Absolute Maximum) 和 最小值 (Absolute Minimum) 是指函数在整个定义域（或指定的区间）上取得的最大函数值和最小函数值，也统称为最值 (Absolute Extremum)。

1. 最值存在的条件

极值存在定理 (Extreme Value Theorem):
如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必定存在最大值和最小值。

2. 最值的求法

(1) 闭区间上连续函数的最值求法

对于在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(x)$，其最值必定在区间的内部极值点或区间端点 $a,b$ 处取得。

步骤：

1. 找出 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的所有驻点和不可导点（即所有临界点）。
2. 计算函数在这些临界点处的函数值。
3. 计算函数在两个端点处的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$。
4. 比较步骤 2 和步骤 3 中得到的所有函数值，其中最大的一个即为函数在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的一个即为函数在 $[a,b]$ 上的最小值。

示例：

例 1： 求 $f(x)=x-\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$ 在 $\left[-1,\frac{27}{8}\right]$ 上的最值。
(解：待补充)

(2) 实际应用问题中的最值

许多实际问题可以归结为求某个函数在其实际意义允许的定义域内的最值问题。

步骤：

1. 建立模型: 根据问题情境，确定目标函数 $f(x)$ 和自变量 $x$ 的实际取值范围（定义域 $I$）。
2. 求临界点: 求出 $f(x)$ 在定义域 $I$ 内部的驻点和不可导点。
3. 分析判断:
   • 如果定义域 $I$ 是闭区间 $[a,b]$，则按 (1) 的方法求解。
   • 如果定义域是开区间、无穷区间或半开半闭区间，且根据问题实际意义或函数性质（例如单调性）可以确定最值存在，并且只有一个临界点 $x_0$：
     • 若 $x_0$ 是极值点，则该极值通常就是所求的最值 (极大值对应最大值，极小值对应最小值)。可以通过分析函数在 $x_0$ 点附近的单调性或凹凸性（二阶导数）来确认。
   • 如果存在多个临界点或需要考虑定义域边界的行为（例如趋于无穷或开端点），则需要结合函数的单调性、极限等进行综合分析。

示例：

例 2： 将边长为 $a$ 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得的方盒容积最大？
(解：建立体积函数 $V(x)$，确定 $x$ 的范围，求导找驻点，判断最值。待补充)