题目举例

已知输出量$Y$与输入量$X_1$、X_{2}的估计值分别为$y、x_1、x_2$,他们之间的函数关系为$y=\frac{x{1}^2}{x2}$。已知:$x1=3.00,U=0.02(k=2);x2=2.00,U=0.03(K=3)$,且$X_1$与$X_2$不相关，包含因子$K=2$时，输出量$Y$的扩展不确定度$U(y)$为？

其中：
$U:拓展不确定度$,由合成标准不确定度$u_c$的倍数表示的测量不确定度
$K：包含因子$，用于求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的数字因子，在数值上它等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。$U=K\ast u_c$

误差传递公式简介

在题目中函数$y=\frac{x_1^2}{x_2}$依赖于多个具有不确定度的输入变量，所以使用误差传递公式。
误差传递公式的定义如下：

假设有一个函数$y=f(x_1,x_2,...,x_n)$，其中$x_1,x_2,...,x_n$是输入变量，每个变量都有其相应的不确定度$u(x_1),u(x_2),...,u(x_n)$。误差传递公式可以用来估计函数输出$y$的不确定度$u(y)$。

通用的误差传递公式可以表示为：

$$u(y)=\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot u(x_1)\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot u(x_2)\right)}^2+...+{\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\cdot u(x_n)\right)}^2}$$

其中，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$是函数$f$对变量$x_i$的偏导数，在点$(x_1,x_2,...,x_n)$处计算。这个公式基于线性近似的思想，并假设输入变量的误差是相互独立的。公式表明，输出变量的不确定度是输入变量不确定度的线性组合，权重由函数对相应变量的偏导数给出。这种线性组合的平方和再开方，给出了输出变量的总不确定度。

题目解析

第1步, 计算$x_1$、$x_2$的标准不确定度$u_c$:

根据题目信息，我们可以得到输入量X1和X2的测量值和它们的不确定度：
$x_1=3.00,U(x1)=0.02(k=2)$ $x_2=2.00,U(x2)=0.03(k=3)$

由$U=k\ast u$，我们可以计算出标准不确定度$u_{x_1}$和$u_{x_2}$：
$$u_{x_1}=\frac{U_{x_1}}{k}=\frac{0.02}{2}=0.01$$
$$u_{x_2}=\frac{U_{x_2}}{k}=\frac{0.03}{3}=0.01$$

第2步，求导$x_1$、$x_2$的偏导数

$x_1$的偏导数$\frac{\partial y}{\partial x_1}$:
根据偏导数的定义，在求 $\frac{\partial y}{\partial x_1}$ 时，需要将 $x_2$ 视为常数，只对 $x_1$ 进行求导。

步骤 1: 对分子 $x_1^2$ 求导
由于 $x_1^2$ 是一个关于 $x_1$ 的二次函数，根据导数的幂规则 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$，对 $x_1^2$ 求导得到 $2x_1$。

步骤 2: 保持分母 $x_2$ 不变
因为我们在求关于 $x_1$ 的偏导数，所以分母 $x_2$ 被视为常数，在求导过程中保持不变。

步骤 3: 组合结果
将步骤 1 和步骤 2 的结果组合起来，得到函数 $y$ 关于 $x_1$ 的偏导数为：
$\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{2x_1}{x_2}$

$x_2$的偏导数 $\frac{\partial y}{\partial x_2}$：

在求 $\frac{\partial y}{\partial x_2}$ 时，我们保持 $x_1$ 不变，只对 $x_2$ 进行求导。

步骤 1: 对分母 $x_2$ 求导
由于分母是一个单一的变量 $x_2$，根据导数的基本规则，对 $x_2$ 求导得到其倒数的相反数，即 $-\frac{1}{{x_2}^2}$（因为 $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$）。

步骤 2: 保持分子 $x_1^2$ 不变
在求关于 $x_2$ 的偏导数时，分子 $x_1^2$ 被视为常数，因此不需要对其求导。

步骤 3: 组合结果并应用链式法则
由于整个函数 $y$ 是分子除以分母的形式，我们需要使用链式法则来求导，根据链式法则，${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$，这里 $u=x_1^2$ 和 $v=x_2$。

由于 $u$ 是关于 $x_1$ 的函数，在对 $x_2$ 求偏导时，$u^{\prime }$ 为0（因为 $x_1$ 保持不变）。所以只考虑 $v^{\prime }$ 和 $v^2$，将步骤 1 和步骤 2 的结果代入链式法则中，得到：

$\frac{\partial y}{\partial x_2}=\frac{0\cdot x_2-x_1^2\cdot (-\frac{1}{{x_2}^2})}{{x_2}^2}=-\frac{x_1^2}{{x_2}^3}$（注意负号来自于步骤 1 中对分母的求导）

简化后得到：

$\frac{\partial y}{\partial x_2}=-\frac{x_1^2}{{x_2}^2\cdot x_2}=-\frac{x_1^2}{{x_2}^3}$

第3步，计算输出量Y的合成标准不确定度$u_c(y)$

使用误差传递公式来计算$u_c(y)$：
$$uc(y)=\sqrt{(\frac{\partial y}{\partial x_1}\ast u(x_1){)}^2+(\frac{\partial y}{\partial x_2}\ast u(x_2){)}^2}$$
$$=\sqrt{(\frac{2\ast x_1}{x_2}\ast u(x1){)}^2+(\frac{x_1^2}{x_2^2}\ast u(x2){)}^2}$$

将$x_1=3.00,u(x_1)=0.01,x_2=2.00,u(x_2)=0.01$代入，得：
$$u_c(y)=\sqrt{(\frac{2\ast 3.00}{2.00}\ast 0.01{)}^2+(\frac{3.00^2}{2.00^2}\ast 0.01{)}^2}=\sqrt{(0.03{)}^2+(0.0225{)}^2}\approx 0.0361$$

第4步， 合成扩展不确定度$U(y)$

$U(y)=K\ast u_c(y)=2\ast 0.0361\approx 0.0722$

所得数值接近标准答案的选项：0.0700，这道题虽然只有1分，但计算过程还是微微存在难度。