题目： 设 $x_0=\alpha$,$x_1=\beta$,$x_{n+1}=m_1{x}_n+m_2{x}_{n-1}$，求 $x_n$ 的通项公式。

参考答案
求解方程
$${\lambda }^2-m_1\lambda -m_2=0$$
得到 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$

情形一： ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\in \mathbb{R}$，则通项公式为

$$x_n=c_1{\lambda }_1^n+c_2{\lambda }_2^n$$

例一： 设 $x_0=1$,$x_1=2$,$x_{n+1}=4x_n-3x_{n-1}$，求 $x_n$ 的通项公式。

参考答案：

求解方程
$${\lambda }^2-4\lambda +3=0$$
得到 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3$

则通项公式为

$$x_n=c_1+c_2\cdot 3^n$$

将 $x_0=1,a_1=2$带入，得到

$$c_1=\frac{1}{2},c_2=\frac{1}{2}$$

于是

$$x_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 3^n$$

情形二： ${\lambda }_1={\lambda }_2\in \mathbb{R}$，则通项公式为

$$x_n=(c_1+c_{2}n){\lambda }^n$$

例二： 设 $x_0=1$,$x_1=2$,$x_{n+1}=4x_n-4x_{n-1}$，求 $x_n$ 的通项公式。
求解方程
$${\lambda }^2-4\lambda +4=0$$
得到 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2$

则通项公式为

$$x_n=(c_1+c_{2}n)2^n$$

将 $x_0=1,a_1=2$带入，得到

$$c_1=1,c_2=0$$

于是

$$x_n=2^n$$

算完之后才发现，我举得这两个例子好特殊啊。。。不过大致就是这个意思，应该能看懂吧？

2022年2月26日11:25:32