同胚映射：

设$E\subset {\mathbb{R}}^n$而$\vec{f}(\vec{x})=(f_1(\vec{x}),f_2(\vec{x}),\dots ,f_m(\vec{x}))$是一个定义于$E$的向量函数。
作为映射，若$\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})：E⟼\vec{f}(E)$是一 一对应的，则其存在逆映射$\vec{x}={\vec{f}}^{-1}(\vec{y})：\vec{f}(E)⟼E$。
若$\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})$在$E$上连续且$\vec{x}={\vec{f}}^{-1}(\vec{y})$在$\vec{f}(E)$上也连续，则称$\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})$是$E⟼\vec{f}(E)$的同胚映射。

逆映射存在定理：

设$\vec{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)=(f_1(\vec{x}),f_2(\vec{x}),\dots ,f_n(\vec{x}))=\vec{f}(\vec{x})$是区域$D\subset {\mathbb{R}}^n$到区域$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$的一个$C^1$映射，并且在${\vec{x}}_0\in D$处有：$$\frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}\ne 0$$则存在${\vec{x}}_0$的邻域$U({\vec{x}}_0,\delta )\subset D$使得映射$\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})$是$U({\vec{x}}_0,\delta )$到$\vec{f}(U({\vec{x}}_0,\delta ))$的$C^1$同胚映射。

证明：
由于$$\{\begin{array}{l}{y}_1=f_1(\vec{x})\\ y_2=f_2(\vec{x})\\ \dots \\ y_n=f_n(\vec{x})\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{F}_1(\vec{x},\vec{y})=y_1-f_1(\vec{x})\\ F_1(\vec{x},\vec{y})=y_2-f_2(\vec{x})\\ \dots \\ F_1(\vec{x},\vec{y})=y_n-f_n(\vec{x})\end{array}$$且$$\frac{\partial (F_1,F_2,\dots ,F_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}=(-1{)}^n\frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}\ne 0$$由隐函数存在定理：$$在y_0的邻域U(y_0,{\delta }_0)中唯一存在C^1的向量函数\vec{x}=(x_1(\vec{y}),x_2(\vec{y}),\dots ,x_n(\vec{y}))$$