1. 定义

一个向量组 { v 1 , v 2 , … , v n } \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\} {v1​,v2​,…,vn​} 被称为标准正交向量组，如果它满足以下两个条件：

1. 正交性：对于任意的 $i\ne j$，有 ${\mathbf{v}}_i\cdot {\mathbf{v}}_j=0$，即向量组中的向量两两正交。
2. 标准性：对于任意的 $i$，有 $\Vert {\mathbf{v}}_i\Vert =1$，即每个向量的长度（或范数）为1。

2. 性质

标准正交向量组具有以下重要性质：

• 线性无关：标准正交向量组一定是线性无关的。这意味着任何一组标准正交向量都可以作为基向量来张成一个向量空间。
• 正交矩阵：如果一个矩阵的列向量（或行向量）构成一个标准正交向量组，那么这个矩阵就是一个正交矩阵。
• 保持内积：如果 { v 1 , v 2 , … , v n } \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\} {v1​,v2​,…,vn​} 是一个标准正交向量组，那么对于任意向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$，有 $(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y})=(\mathbf{x}\cdot {\mathbf{v}}_i)(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{v}}_i)$。

3. 构造方法

标准正交向量组可以通过以下几种方法构造：

• Gram-Schmidt 正交化：通过对一组线性无关的向量进行 Gram-Schmidt 正交化过程，可以得到一组正交向量，然后通过归一化得到标准正交向量组。
• 傅里叶基：在信号处理中，傅里叶基（如正弦和余弦函数）构成一组标准正交向量组。
• 单位矩阵的列向量：单位矩阵 $I_n$ 的列向量 { e 1 , e 2 , … , e n } \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\} {e1​,e2​,…,en​} 构成一组标准正交向量组。

4. 应用

标准正交向量组在多个领域有重要应用：

• 最小二乘法：在求解最小二乘问题时，使用标准正交向量组可以简化计算过程。
• 信号处理：在傅里叶变换和离散余弦变换中，标准正交向量组用于信号的频域分析。
• 量子力学：在量子态的表示和测量中，标准正交向量组用于描述量子态的基。

5. 示例

考虑二维空间 ${\mathbb{R}}^2$ 中的两个向量 ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$ 和 ${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)$，它们构成一个标准正交向量组，因为：

• ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=\cos \theta \cdot (-\sin \theta )+\sin \theta \cdot \cos \theta =0$
• $\Vert {\mathbf{v}}_1\Vert =\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$
• $\Vert {\mathbf{v}}_2\Vert =\sqrt{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }=1$