证明$(1+\frac{1}{n}{)}^n<(1+\frac{1}{n+1}{)}^{(n+1)}$

也就是要证明：
$$(\frac{n+1}{n}{)}^n<(\frac{n+2}{n+1}{)}^{(n+1)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

将上面不等式的左右两边进行二项式展开，有如下形式：
$$(1+\frac{1}{n}{)}^n=1+C_n^1(\frac{1}{n}{)}^1+C_n^2(\frac{1}{n}{)}^2+C_n^3(\frac{1}{n}{)}^3+\cdots +C_n^{n-1}(\frac{1}{n}{)}^{n-1}+C_n^n(\frac{1}{n}{)}^n\text{\hspace{1em}(2)}$$
共有n+1项；
$$\begin{gathered} (1+\frac{1}{(n+1)}{)}^{(n+1)}=1+C_{n+1}^1(\frac{1}{n+1}{)}^1+C_{n+1}^2(\frac{1}{n+1}{)}^2+C_{n+1}^3(\frac{1}{n+1}{)}^3+\cdots \\ +C_{n+1}^{n-1}(\frac{1}{n+1}{)}^{n-1}+C_{n+1}^n(\frac{1}{n+1}{)}^n+C_{n+1}^{n+1}(\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
共有n+2项；

比较式(2)和(3)的右侧展开式子，第一项都是1，从第2项到第n+1项皆有对应，而只有式(3)具有第n+2项$C_{n+1}^{n+1}(\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}$。这种情况下只需证明：
$$C_n^m(\frac{1}{n}{)}^m\le C_{n+1}^m(\frac{1}{n+1}{)}^m,1\le m\le n\text{\hspace{1em}(4)}$$
而我们知道，
$$C_n^m=\frac{n\ast \cdots \ast (n+1-m)}{m!},1\le m\le n\text{\hspace{1em}(5)}$$
(4)代入(5)可得：
$$\begin{gathered} 左边=\frac{1}{m!}\ast \frac{n-1}{n}\ast \frac{n-2}{n}\ast \cdots \ast \frac{n+1-m}{n} \\ 右边=\frac{1}{m!}\ast \frac{n+1-1}{n+1}\ast \frac{n+1-2}{n+1}\ast \cdots \ast \frac{n+1+1-m}{n+1}\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$
显然我们有
$$\frac{n+1-m}{n}<\frac{n+1+1-m}{n+1},1\le m\le n\text{\hspace{1em}(7)}$$
根据(7)可知，(6)式中左边小于右边。因此(4)得证，则可推出(2)式小于(3)式，则(1)式得证。