一 原理

1.比例控制（P）

比例控制是PID控制的基础部分，其核心在于对当前误差的响应。误差是设定值（目标值）与实际输出之间的差。比例控制的输出公式为：
$$P=K_p\times e(t)$$

• K_p（比例增益）：控制系统对误差的敏感度，增大该值会使系统更快响应，但也可能导致系统不稳定。
• 优缺点：
  • 优点：能够快速响应变化。
  • 缺点：在稳态时可能存在误差（稳态误差），即实际值无法完全达到设定值。

2. 积分控制（I）

积分控制旨在消除稳态误差，通过对误差进行累积，使得控制系统在长时间运行时能够达到设定值。其公式为：

$$I=K_i\times {\int }_0^{t}e(\tau )d\tau$$

• K_i（积分增益）：影响误差的累积速度，过大的积分增益可能导致系统过度调整，造成振荡。
• 优缺点：
  • 优点：有效消除稳态误差。
  • 缺点：容易引起超调和振荡，尤其在增益设置不当时。

3. 微分控制（D）

微分控制用于预测误差的未来趋势，从而对误差的变化做出响应。其公式为：

$$D=K_d\times \frac{de(t)}{dt}$$

• **K_d

（微分增益）**：控制对误差变化率的反应，增大该值可以减少系统的超调，但对噪声非常敏感。

• 优缺点：
  • 优点：提高系统的稳定性和响应速度。
  • 缺点：容易对测量噪声产生反应，可能引发不必要的控制调整。

PID控制器的综合输出

PID控制器的输出是以上三部分的综合，公式为：

$$u(t)=K_p\times e(t)+K_i\times {\int }_0^{t}e(\tau )d\tau +K_d\times \frac{de(t)}{dt}$$

二 K_p、K_i、K_d对系统的作用与影响

从视频可以直观感受到各个参数对于系统调节的作用：

1. 比例增益 (K_p)

作用：比例控制的主要目的是根据当前误差生成控制输出。(K_p)直接影响控制系统对误差的响应强度。

影响：

• 增大(K_p)：

  • 快速响应：系统对误差变化的响应更快。
  • 可能出现超调：当系统接近设定值时，可能会因为过度反应而超过目标值。
  • 稳定性问题：过高的比例增益可能导致系统不稳定，产生持续振荡。

• 减小(K_p)：

  • 响应变慢：系统的调整变得较为缓慢。
  • 稳态误差：在稳定状态下可能存在误差，实际值无法完全达到设定值。

2. 积分增益 (K_i)

作用：积分控制的目标是消除稳态误差。它通过累积过去的误差来调整控制输出。

影响：

• 增大(K_i)：

  • 消除稳态误差：随着时间的推移，系统能够逐渐消除任何持久的误差。
  • 可能导致振荡：如果(K_i)设置过高，可能导致系统反应过度，产生振荡或不稳定。

• 减小(K_i)：

  • 提高稳定性：系统的响应更加平稳，减少振荡。
  • 存在稳态误差：可能无法完全消除长时间存在的误差。

3. 微分增益 (K_d)

作用：微分控制预测误差的未来变化，能够提高系统的动态性能。

影响：

• 增大(K_d)：

  • 提高稳定性：对误差变化率的敏感性可以减少超调，改善系统的稳定性。
  • 减少振荡：通过对快速变化的误差进行抑制，能够减小系统的振荡。

• 减小(K_d)：

  • 响应变慢：系统对误差变化的反应变得迟钝。
  • 可能增加超调：缺乏预测性控制可能导致在接近目标时出现较大的超调。

总结

在实际应用中，PID控制器的参数设置通常是一个平衡过程：

• **(K_p)**决定了系统的快速响应能力，但需要谨慎避免过高以免引发不稳定。
• **(K_i)**可以消除稳态误差，但过高会导致系统振荡。
• **(K_d)**提供了对误差变化的预测，有助于提高系统稳定性，但过低则可能导致过度反应。

三 调参方法

1. 手动调节法

手动调节是最直观的方法，适合小规模和简单的控制系统。

• 步骤：
  1. 设定初值：从小的(K_p)、(K_i)、(K_d)开始，通常设置(K_i)和(K_d)为0。
  2. 增加(K_p)：逐步增加(K_p)的值，观察系统响应。理想情况下，系统应能快速接近设定值。
  3. 观察超调和稳定性：当系统开始出现超调时，记录下这个值。然后略微减小(K_p)以消除过度反应。
  4. 引入(K_i)：逐步增加(K_i)，以消除稳态误差。注意观察，过大的(K_i)可能会引起振荡。
  5. 引入(K_d)：最后添加(K_d)以改善系统的响应速度和稳定性，尤其是对于快速变化的情况。

2. Ziegler-Nichols调节法

这是一个经典的经验法则，适用于多数线性系统。

• 步骤：
  1. 找出临界增益（(K_u)）：将(K_i)和(K_d)设置为0，逐步增加(K_p)，直到系统出现持续振荡，记录此时的(K_p)值为(K_u)。
  2. 记录振荡周期（(T_u)）：同时记录振荡的周期，这个值为(T_u)。
  3. 计算PID参数：
     • $$K_p=0.6\times K_u$$
     • $$K_i=2K_p/T_u$$
     • $$K_d=K_p\ast T_u/8$$

在对无人机、水下机器人调参时，注意先对姿态作调整，姿态稳定后再调节位置参数