卡尔达诺(Cardano.Girolamo，1501-1576)意大利数学家、医学家、物理学家.其姓氏英文拼法是"Cardan"，通常译为"卡当"。
卡当最重要的著作《大技术》(1545)，首次公布了三、四次代数方程的一般解法，确认了高于一次的代数方程多于一个根，已知方程的一个根可将方程降阶，指出方程的根与系数间的某些关系，利用反复实施代换的方法求得方程的近似解，在解方程中使用了虚数等。
如$x^3=3px+2q$的正解为：

$x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}$

假设方程：$x^3=3x+2$ 那么他的解应该是:

$x=\sqrt[3]{1+\sqrt{1-1}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{1-1}}=2$

但是假设$P^3>q^3$则式子中$\sqrt{q^2-p^3}=\sqrt{-1}\sqrt{p^3-q^2}$

比如方程：$x^3=15x+4$ 则$P=5,q=2$

那么方程的根为$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{2^2-5^3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{2^2-5^3}}$

即$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$

这个是无解的，但是从画图上来说左右面的两个函数确实有交点，正解是$x=4$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f1(x):
    return x**3
def f2(x):
    return 15*x + 4
# 生成 x 轴数据
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
y1 = f1(x)
y2 = f2(x)
plt.plot(x, y1, label='y = x^3')
plt.plot(x, y2, label='y = 15x + 4')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

在《代数学》中，邦贝利讨论了卡当没能解决的三次方程不可约情形，即方程的根是实数，而应用求根公式解方程时却出现平方根下为负数的表达式。 邦贝利没有像卡当一样认为虚数是无用的，而是认真地看待了虚数。 他证明了卡当给出的求根公式依然适用于这种情形，给出了相当于我们现在所说的虚数单位$i$的名词：“需要把它加上时，我把它叫做‘负之正’，若要减去它时，我叫它“负之负”。 基于这样的认识，邦贝利解决了这一类三次方程，指出这一类方程通常有三个实数根，这在复数发展史上是具有里程碑式的重要意义的。

假设$\sqrt{-1}=i$那么上式结果为$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$，

如果$x=4$是他的正实数解，那么$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}=4$

相比卡当,邦贝利又向前多迈了一步,

有没有可能$\sqrt[3]{2+11i}=2+i$,而$\sqrt[3]{2-11i}=2-i$ 所以$\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}=2+i+2-i=4$

所以后面又演变出复数的加法和乘法，

复数的加法公式：

设两个复数 $z_1=a+bi$ ，$z_2=c+di$ ，（其中 $a，b，c，d$ 均为实数，$i$ 为虚数单位，且 $i^2=-1$）

则复数的加法为：$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$

例如，$z_1=2+3i$，$z_2=1-2i$，则 $z_1+z_2=(2+1)+(3-2)i=3+i$

复数的乘法公式：

$z_1\times z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$
比如，$z_1=3+2i$，$z_2=1+4i$
$z_1\times z_2=(3\times 1-2\times 4)+(3\times 4+2\times 1)i=-5+14i$

这些看上去没有什么特别的不同，但是从他的物理意义上就使一些计算变得更为简单，所以数学里任何一种新的数，新的分支的出现，都是在做简化，使一些计算更适合人工计算，记住这种思想，也为后面的复变函数打下了基础。为欧拉公式的出现也埋下了伏笔。

复数的相加实际上就是矢量的相加，而复数的相乘是描述了二维旋转的工具，先旋转了辅角，然后再伸缩它的模长的绝对值。
如果只想让一个复数旋转一个$\theta$角度，就乘以一个模为1，辅角为$\theta$的复数，用三角函数表示为$cos\theta +isin\theta$很像“上帝公式”——Euler Formula（欧拉公式）的右边式。但提到这个公式还要再谈谈自然常数$e$.$e$这个常数来自于复利公式，如果每n分钟我的股票都能增长之前的$\frac{1}{n}$，那么在n个n分钟后，我的股票应该趋近于

${\lim }_{n\to +\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e\approx 2.7182817711635425$

e_approx = 1
i= 100000000
h = 1 / i
for n in range(1, i):
    e_approx *= (1 + h)
print("Approximate value of e:", e_approx)

这一刻取决于上一刻是一个连续的变化，e就是连续，所以称为自然常数。
$e^{it}=cos(t)+isin(t)$
$e^{i\theta }$ 表示复平面上的单位圆上的一个点，具体取决于 $\theta$ 的值。
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点。随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
t = np.linspace(0, 10 * np.pi, 1000)  
x = np.cos(t)  
y = np.sin(t)  
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, t, label='Euler\'s formula: $e^{it}$')
ax.set_xlim(-1.2, 1.2)
ax.set_ylim(-1.2, 1.2)
# 绘制xz平面的投影
ax.plot(x, 1.2, t, 'r--', label='xz-projection')
# 绘制yz平面的投影
ax.plot(-1.2, y, t, 'g--', label='yz-projection')
ax.legend()
ax.set_title('Euler\'s formula')
ax.set_xlabel('Real part (cos(t))')
ax.set_ylabel('Imaginary part (sin(t))')
ax.set_zlabel('Time (t)')
# 显示图形
plt.show()

欧拉公式提供了一种将实数域上的指数函数解析延拓到复数域的方法。通过这种方式，我们可以在复平面上使用指数函数的性质来解决更复杂的问题。