前言：仅个人小记。这个性质是循环群的独有的。

证明内容

循环群G的阶为 n， 对任意 n 的因子 d ，即 d|n，都存在一个 唯一的d 阶子群 H。

证明

循环群 G 的生成元记为 g， 群阶记为 n。
引入集合 $Z_n=0,1,...,n-1$

第一部分

引入G的一个子集H， H={x∣xd=1,x∈G}H=\{x|x^d=1,x\in G\}H={x∣xd=1,x∈G}，显然，H 在 G 中具有唯一性。

第二部分–证明 $|H|\le d$

因为 $x\in G$，所以 x 可以写成 $x=g^k,k\in Z_n$，进一步约束 k，即要求 $g^{kd}=1$，现在讨论 k 的可能取值的个数。
因为$$g^{kd}=1$$所以必然有

$$n|kd$$进而$$kd=sn,s为正数$$进而$$k=\frac{n}{d}s$$因为 d 是 n 的因子，所以 $\frac{n}{d}$ 是整数。又因为 $$k\in Z_n$$所以$$\frac{n}{d}s\in Z_n$$显然，s 的取值只能为

{1,2,...,d}\{1,2,...,d\}{1,2,...,d}所以 k 的取值只能是

{nd,nd2,...,ndd}\{\frac{n}{d},\frac{n}{d}2,...,\frac{n}{d}d\}{dn​,dn​2,...,dn​d} 进而 使得 $g^{kd}=1$ 成立的 k 最多只有 d 个，进而$x^d=1$的 x 的个数最多只有 k 个，进而集合 H 的基满足

$$|H|\le k$$

第三部分-- 证明 $H=<g^{n/d}>$

因为 d|n ,所以显然有元素 $g^{n/d}$的阶为 d，显然 $g^{n/d}\in H$，又因为 $g^{n/d}$这个元素可以生成一个 d 阶循环子群为 $<g^{n/d}>$，显然，$$\forall y\in <g^{n/d}>,y\in H$$进而

$$<g^{n/d}>\subseteq H$$又因为 $|H|\le d$所以，$$H=<g^{n/d}>$$综上，循环群的阶的因子 d 必然对应这个一个子群，且该子群唯一。证毕！