目标函数的等值图与等高线图的关系

目标函数的等值图（等值线图）和等高线图是相似的概念，只是应用领域不同。等高线图用于地形图中表示高度，而等值图用于表示某个函数在不同点的取值。

等值图（等值线图）

• 定义：对于一个函数 $f(x,y)$ ，等值线是由满足 $f(x,y)=c$ 的点组成的曲线，其中 $c$ 是常数。在等值线上的所有点，函数 $f$ 的值都相同。
• 表示方法：在二维图中，等值线图使用一系列曲线来表示函数 $f(x,y)$ 的不同值。例如，不同的 $c$ 值对应不同的等值线。

等高线图

• 定义：等高线是指地表高度相同的点连成的曲线。
• 应用：在地形图中，等高线用于表示地形的起伏。每条等高线代表一个固定的高度，线与线之间的间隔表示高度差。

为什么等值图可以绘制成多个椭圆形或多个圆形？

许多解释随机梯度下降（SGD）的例子使用等值图，这些图通常呈现多个椭圆形或圆形。这是因为这些等值图通常来源于二次型目标函数。下面详细解释：

二次型目标函数

二次型目标函数通常具有以下形式：

$f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f$

对于这样的函数，等值线由方程 $a{x}^2+bxy+c{y}^2=k$（其中 $k$ 是常数）决定。

• 椭圆：一般情况下，二次型函数的等值线是椭圆。
• 圆形：在特定条件下（如 $a=c$ 且 $b=0$），等值线是圆形。

特征值与特征向量

• 二次型函数可以用矩阵表示，例如 $f(\mathbf{w})={\mathbf{w}}^{T}A\mathbf{w}+{\mathbf{b}}^T\mathbf{w}+c$，其中 $\mathbf{w}$ 是变量向量， $A$ 是对称正定矩阵。
• 矩阵 $A$ 的特征值和特征向量决定了等值线的形状。特征值的大小决定了椭圆的轴长，特征向量决定了椭圆的方向。

线性回归和分类回归中的目标函数

对于线性回归和一些常见的分类方法，目标函数通常是二次型的。

线性回归

线性回归的目标是最小化预测值和真实值之间的差异，通常使用均方误差（MSE）作为目标函数：

$J(\mathbf{w})=\frac{1}{2m}{\sum }_{i=1}^m(h_{\mathbf{w}}(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$

其中，$h_{\mathbf{w}}(x)={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b$ 是线性模型的预测值。这个目标函数展开后是参数 $\mathbf{w}$ 的二次函数。

逻辑回归

逻辑回归通过最小化负对数似然损失函数来最大化似然函数：

$J(\mathbf{w})=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m[y^{(i)}\log (h_{\mathbf{w}}(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log (1-h_{\mathbf{w}}(x^{(i)}))]$

其中，$h_{\mathbf{w}}(x)=\frac{1}{1+e^{-{\mathbf{w}}^T\mathbf{x}}}$ 是逻辑回归模型的预测概率。

虽然这个目标函数不是二次的，但在优化过程中可以进行二次近似。

梯度与等值线的关系

梯度的定义

梯度是一个向量，表示目标函数在某一点的变化率和方向。对于一个二元函数 $f(x,y)$，梯度用符号 $\nabla f$ 表示，其分量是 $\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$。

梯度与等值线的几何关系

• 梯度向量垂直于等值线，因为等值线上的点的函数值相同，梯度表示函数值增加最快的方向，自然垂直于等值线。
• 例如，等值线是地形图上的等高线，而梯度是从某点沿着坡度最大的方向向上的向量。

梯度下降法

梯度下降的步骤

梯度下降法通过迭代的方法来最小化目标函数。每一步迭代沿着负梯度的方向移动：

${\mathbf{w}}_{\text{new}}={\mathbf{w}}_{\text{old}}-\eta \nabla f({\mathbf{w}}_{\text{old}})$

其中，$\mathbf{w}$ 是参数向量，$\eta$ 是学习率， $\nabla f$ 是梯度。

沿法线方向移动

在等值图上，梯度下降法每一步都沿着等值线的法线方向（负梯度方向）移动。这确保每一步都朝着降低目标函数值的方向前进，从而逐步逼近目标函数的最小值。

随机梯度下降法在二次型目标函数中的路径

极小值点

• 极小值点是目标函数的值最小的点。对于二次型目标函数，这个点通常是唯一的，并且在解析几何上可以通过设置梯度为零来找到。
• 对于 $f(\mathbf{w})$，极小值点 ${\mathbf{w}}^{\ast }$ 满足 $\nabla f({\mathbf{w}}^{\ast })=0$，解这个方程可以得到 ${\mathbf{w}}^{\ast }$。

路径收敛

• 在二次型目标函数中，随机梯度下降法（SGD）的路径呈现出向椭圆或圆的中心（极小值点）收敛的趋势。
• 由于等值线是椭圆或圆，路径看起来逐步进入这些椭圆或圆的中心，即极小值点。

例子

假设目标函数为 $f(x,y)=3x^2+2xy+y^2$，其等值线为椭圆。随机梯度下降法会：

1. 初始化点在等值图上的某个位置。
2. 计算梯度并沿负梯度方向更新。
3. 新点沿着等值线的法线方向移动，逐步接近椭圆的中心。
4. 重复上述步骤，直到到达极小值点（椭圆的中心）。

总结

• 等值图与等高线图的关系：等值图用于表示目标函数在不同点的取值，类似于等高线图表示高度。
• 等值图的形状：二次型目标函数的等值线是椭圆或圆，这是因为它们的解析形式。
• 梯度与等值线的关系：梯度垂直于等值线，梯度下降法每一步沿负梯度方向移动，使得路径逐步逼近目标函数的最小值。
• 二次型目标函数的优化：在二次型目标函数中，SGD的路径向椭圆或圆的中心（极小值点）收敛，帮助我们理解优化过程。