背景

目前的分类算法大多都强调准确率，但对于我们实际研究的问题来说可能不是特别的符合。
例如：在1000个人中，有10个人得癌症，一般的非代价敏感（Non Cost-Sensitive）学习算法可能会把几乎所有人都分为“健康”的这一类，虽然这样做的准确率很高，但是对于我们研究的问题来说（找出患病的人），却是无意义的。并且，把癌症患者误诊为健康者，让患者错过最佳治疗时间，这样的代价是极其高昂的，远大于把健康者误诊为癌症患者的代价。因此，引入代价敏感（Cost-Sensitive）就是为了在分类时，给不同的分类错误分配不同的代价，使得总代价最小。

常用的方法有：

• 调整样本分布（Stratification），这是一种传统的方法，根据错误分类的代价，按照比例变换训练集中类别的频率。但这种方式改变了样本的分布情况，可能会影响算法的性能。

• 元代价（MetaCost），这是一种将一般分类模型转换成代价敏感模型的方法。它通过一个“元学习”过程，根据最小期望代价修改训练样本的标记，并使用修改过的训练集重新学习新的模型。

• 代价敏感决策（Direct Cost-Sensitive Decision Making），首先在训练集中多次取样，生成多个模型，再根据多个模型，得到测试样本属于每个类别的概率，然后计算测试样本的所有错误分类的代价，并根据最小代价得到类标记。一种典型的做法就是利用集成学习技术（Ensemble Learning）。

二分类代价敏感矩阵 $C$：

一般情况，分类正确的代价取值为0，即 $C_{00}$ = $C_{11}$ =0，在不平衡问题中，往往多数类被视为负类，少数类被视为正类。因此，$C_{00}$、$C_{01}$、$C_{10}$、$C_{11}$ 满足 $C_{10}$ > $C_{01}$ > $C_{00}$ = $C_{11}$ 。

TP（True Positive）：判断为正样本，实际上也是正样本
TN（True Negative）：判断为负样本，实际上也是负样本
FP（False Negative）：判断为正样本，实际上是负样本
FN（False Positive）：判断为负样本，实际上是正样本

因此总代价 TC(Total Coast) 为：
TC(Total Coast) = $C_{10}$ * FN + $C_{01}$ * FP

AdaCost 算法原理：

AdaCost 算法相对于 Adaboost，主要做了两方面的改进：

1. 为每个训练样本分配了误分类代价因素 $c_i$ ，并将代价因素加入到分类的学习过程中；
2. 在权值调整公式中加入代价调整函数 $\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_i)),c_i)$ ，简记为 $\beta (i)$ ，$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_i))$ 是用于表示分类器 $h_t(x_i)$ 对 $x_i$ 的分类结果是否正确。
   当 $\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_i))=+1$， $\beta (i)$ 简记为 ${\beta }_{+}$，表示分类正确；
   当 $\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_i))=-1$， $\beta (i)$ 简记为 ${\beta }_{-}$，表示分类错误；

将 $\beta (i)$ 加入到样本权重更新式子中，可以通过权值调整实现以下几点：

1. 如果样本的误分类代价高，且在检测时又被误分类，通过权值调整得到的新权值较原本的权值应增大许多；
2. 如果样本的误分类代价高，且在检测时又正确分类，通过权值调整得到的新权值较原本的权值应缩小许多；
3. 误分类代价高的样本权值相对较高，误分类代价低的样本权值相对较低。

因此，代价调整函数 $\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_i)),c_i)$ 满足两个要求：

1. ${\beta }_{-}$ 为 $c_i$ 的非递减非负函数，被错误分类的样本误分类代价越高，通过权值调整得到的新权值就越大。
2. ${\beta }_{+}$ 为 $c_i$ 的非递增非负函数，被正确分类的样本误分类代价越高，通过权值调整得到的新权值就越小。

AdaCost

伪代码：

Adacost Upper bound：

step1：先表示出第T+1轮迭代时的样本权重：
$$\begin{array}{rl}{D}_{T+1}(i)& =\frac{c_i}{{\sum }_j^m{c}_j}\cdot \frac{e^{-y_i{\alpha }_1{h}_1(x_1)}\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_1)),c_1)}{Z_1}\cdot ...\cdot \frac{e^{-y_i{\alpha }_T{h}_T(x_i)}\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_T(x_i)),c_i)}{Z_T}\\ & =\frac{c_i{e}^{{\sum }_t-y_i{\alpha }_t{h}_t(x_i)\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_i)),c_i)}}{{\sum }_j^m{c}_j{\prod }_t{Z}_t}\\ & =\frac{c_i{e}^{-y_i{\sum }_t{\alpha }_t{h}_t(x_i)\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_t(x_i)),c_i)}}{{\sum }_j^m{c}_j{\prod }_t{Z}_t}\\ & 令,f(x_i)=\sum _t{\alpha }_t{h}_t(x_i),f^{\prime }(x_i)=\sum _t{\alpha }_t{h}_t(x_i)\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y_i{h}_T(x_i)),c_i)\\ & 令，H(x)=\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(f(x)),H^{\prime }(x)=\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(f^{\prime }(x)),\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

step2：证明 $H(x)$ 比 $H^{\prime }(x)$更准确：

if∀c,β−(c)≥β+(c)following:∀x∈S={(x1,c1,y1),...,(xi,ci,yi)},H′(x)=y⟹H(x)=yif \forall c,\beta_-(c) \geq \beta_+(c) \\ following: \forall x \in S=\{(x_1,c_1,y_1),...,(x_i,c_i,y_i)\},\\ H'(x) = y \Longrightarrow H(x)=yif∀c,β−​(c)≥β+​(c)following:∀x∈S={(x1​,c1​,y1​),...,(xi​,ci​,yi​)},H′(x)=y⟹H(x)=y

Proof：
$$\begin{array}{rl}{H}^{\prime }(x)=y⟺y{f}^{\prime }(x)=y\sum _{t=1}^T{\alpha }_t{h}_t(x)\beta (\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{n}(y{h}_t(x)),c)& >0\\ 左边可以表示为正确分类与错误分类的和：& \\ y\sum _{t+}{\alpha }_{t+}{h}_{t+}(x){\beta }_{+}+y\sum _{t-}{\alpha }_{t-}{h}_{t-}(x){\beta }_{-}& >0\\ \because y\sum _{t+}{\alpha }_{t+}{h}_{t+}(x){\beta }_{+}>0,& \\ y\sum _{t-}{\alpha }_{t-}{h}_{t-}(x){\beta }_{-}\le 0,& \\ {\beta }_{-}\ge {\beta }_{+}>0& \\ \therefore y\sum _{t+}{\alpha }_{t+}{h}_{t+}(x){\beta }_{+}+y\sum _{t-}{\alpha }_{t-}{h}_{t-}(x){\beta }_{+}& \ge y\sum _{t+}{\alpha }_{t+}{h}_{t+}(x){\beta }_{+}+y\sum _{t-}{\alpha }_{t-}{h}_{t-}(x){\beta }_{-}>0\\ 左边可以表示为：{\beta }_{+}(yf(x))>0& \\ \therefore yf(x)>0& \\ y{f}^{\prime }(x)⟹yf(x)& \\ \therefore H^{\prime }(x)=y⟹H(x)=y& \end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

step3：易知 yi、H(xi)∈{−1,1}y_i、H(x_i) \in \{-1,1\}yi​、H(xi​)∈{−1,1}， 有两种情况：

1. 当 $H(x_i)\ne y_i$ 时，$y_{i}f(x_i)<0$，即$e^{-y_{i}f(x_i)}\ge 1$
2. 当 $H(x_i)=y_i$ 时， $y_{i}f(x_i)>0$, 即$e^{-y_{i}f(x_i)}\le 1$

因此，用一个式子同时包含两种情况：$[[H(x_i)\ne y_i]]=1$，
该式子表示的意思是：如果括号内的条件成立，则式子为1，反之为0.
易得：
$$[[H(x_i)\ne y_i]]\le e^{-y_{i}f(x_i)}$$
同理：
$$[[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\le e^{-y_i{f}^{\prime }(x_i)}$$
所以，由式(2)可得：
$$\begin{array}{rl}[[H(x_i)\ne y_i]]& \le [[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\\ [[H(x_i)\ne y_i]]& \le [[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\le e^{-y_i{f}^{\prime }(x_i)}\end{array}$$
把不等式两边做相同的处理：
$$\sum _i{c}_i[[H(x_i)\ne y_i]]\le \sum _i{c}_i[[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\le \sum _i{c}_i{e}^{-y_i{f}^{\prime }(x_i)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
可以看到表达式左边表示的是误分类的代价

setp4：把 (1) 式代入 (3) 式右边进行替换，得到：
$$\sum _i{c}_i[[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\le \sum _i{D}_{T+1}(i)\prod _t{Z}_t\sum _j^m{c}_j$$
因为，无论多少次迭代，样本权值之和始终为1：
$$\sum _i{c}_i[[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\le \sum _i{c}_i\prod _t^T{Z}_t$$
令 ${\sum }_i{c}_i=d$
$$\sum _i{c}_i[[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\le d\prod _t^T{Z}_t\text{\hspace{1em}(4)}$$
step4：从 (4)式 中可以可以看出:
$$\min \sum _i{c}_i[[H^{\prime }(x_i)\ne y_i]]\le \min d\prod _t^T{Z}_t\approx d\prod _t^T\min Z_t\text{\hspace{1em}(5)}$$
通过每次迭代找局部最优的 $Z_t$， 而 $Z_t=sum(D)$,即每次迭代是误分类代价越来越小的过程。

参考文献：
《AdaCost: Misclassification Cost-sensitive Boosting》
《基于权值控制的误分类算法研究》
《代价敏感分类算法的实验比较》