矩阵与向量组的秩和等价

矩阵和向量组是一组很容易混淆的概念，尤其在“秩”和“等价”这两个概念的时候容易混淆。现在把这几个概念拎出来，仔细观察，以求正本清源。

一、矩阵和向量组

1、矩阵：所谓矩阵就是一张数表，比如：
$${\mathbf{A}}_{3\times 4}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]$$
2、向量组，就是一组向量，可以是一组列向量，也可以是一组行向量，比如：
$$列向量组：\mathbf{A}=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]其中，{\alpha }_1=[1,0,0{]}^T,{\alpha }_2=[0,1,0{]}^T,{\alpha }_3=[0,0,1{]}^T,{\alpha }_4=[1,2,3{]}^T,$$

$$行向量组：\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]其中，{\beta }_1=[1,0,0,1],{\beta }_2=[0,1,0,2],{\beta }_3=[0,0,1,3]$$

二、矩阵的秩和向量组的秩

1、秩：是矩阵或者向量组的一种数字特征，是一种简明并且能体现相应矩阵或者向量组的本质的特征

2、矩阵的秩：通过行初等变换和列初等变换，化成标准形中的单位矩阵的阶数
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]\to \mathbf{PAQ}=[{\mathbf{I}}_3,{\mathbf{O}}_{3\times 1}]$$
所以A的秩为3。

3、向量组的秩：

列秩：行初等变换后，矩阵的非零行个数；此时非零行的首个非零元所在列，构成列向量组的一个极大无关组。比如：
$$列向量组：\mathbf{A}=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]其中，{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3构成一个极大无关组，故此列向量组的秩为3$$

行秩：列初等变换即可得。若把矩阵A看作行向量组，那么是一由3个4维行向量组成的向量组。

所以列向量组的秩即其向量组构成的矩阵的列秩；行向量组的秩即其向量组构成的矩阵的行秩。

4、转置不改变矩阵的秩：R(A^T)=R(A)。

因此矩阵的行秩等于列秩。这说明若把矩阵A看作行向量组，求出来的行秩为3。

三、等价矩阵和等价向量组

1、秩相同的同型矩阵等价。

2、能相互线性表出的向量组等价。

注意：秩相同的向量组不一定能够相互线性表出，比如有列向量组：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]，\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
显然${\beta }_3$是无论如何不能由A中的列向量线性表出的，而R(A)=R(B)=3

两个向量组能够相互线性表出，意味着任意一个向量组里的任一向量均可用另一个向量组的向量线性表出。