矩阵指数离散化推导

矩阵指数离散化是一种将连续时间线性时不变（LTI）系统转换为离散时间系统的方法。这种方法特别适用于状态空间表示的系统。以下是详细介绍矩阵指数离散化的过程：

1. 连续时间系统的状态空间表示

首先，我们需要将连续时间系统表示为状态空间形式。对于给定的微分方程：

$$y^{\prime }(t)=-Ay(t)+Bu(t)$$

我们可以将其转换为状态空间形式。假设 $x(t)$是内部状态向量，$y(t)$ 是输出向量，系统的状态空间表示为：

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$

$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

其中：

- A是系统矩阵。

- B是输入矩阵。

- C是输出矩阵。

-D是直接传递矩阵。

对于一阶系统，状态空间表示可以简化为：

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=x(t)$

这里，$A=-A$，$B=B$，$C=I$（单位矩阵),$D=0$

2. 矩阵指数

矩阵指数是将矩阵$ A$的指数函数定义为：

$e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2!}+\frac{(At{)}^3}{3!}+\cdots$

其中 $I$ 是单位矩阵。

连续时间LTI系统的状态可以通过矩阵指数解来表示：

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

解的推导：

对进行变换：$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

先移相：$\dot{x}(t)-Ax(t)=Bu(t)$

两边同乘积分因子$e^{-At}$ 得：$e^{-At}\dot{x}(t)-A{e}^{-At}x(t)=B{e}^{-At}u(t)$

上式左边可以看作：$[e^{-At}x(t){]}^{\prime }=e^{-At}\dot{x}(t)-A{e}^{-At}x(t)$

替换后：$[e^{-At}x(t){]}^{\prime }=B{e}^{-At}u(t)$

对上式在$[t_0,t]$区间上求积分：${\int }_{t_0}^t[e^{-A\tau }x(\tau ){]}^{\prime }d\tau ={\int }_{t_0}^{t}B{e}^{-A\tau }u(\tau )d\tau$

求得：$e^{-At}x(t)-e^{-A{t}_0}x(t_0)={\int }_{t_0}^{t}B{e}^{-A\tau }u(\tau )d\tau$

式子两边同乘$e^{At}$ 并移相得：$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

3. 离散化过程

1. 确定离散时间步长 $T$：选择一个离散时间步长 $T$。

2. 使用矩阵指数近似状态更新：在连续时间系统中，状态更新可以通过矩阵指数来描述：

$x(t+T)=e^{AT}x(t)+{\int }_t^{t+T}{e}^{A(t+T-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

3.近似积分:如果输入$u(t)$再$[t,t+T]$区间是常数$u(k)$（也就是说在一个时间步长T内，u不变）,则积分可近似为：

${\int }_t^{t+T}{e}^{A(t+T-\tau )}Bu(\tau )d\tau \approx Bu(k){\int }_t^{t+T}{e}^{A(t+T-\tau )}d\tau$

4.计算积分：

${\int }_t^{t+T}{e}^{A(t+T-\tau )}d\tau =[-\frac{1}{A}{e}^{A(t+T-\tau )}{]}_t^{t+T}=\frac{1}{A}(e^{AT}-I)$

5. 最终离散时间模型：将输入的影响合并到状态更新中，我们得到离散时间模型：

$x(k+1)=e^{AT}x(k)+B\left(\frac{1}{A}(e^{AT}-I)\right)u(k)$

其中$k$ 是离散时间步长，$x(k)$ 是在时间步 $k$ 的系统状态。

6. 输出计算：输出 $y(k)$ 可以通过当前状态$x(k)$ 计算：

$y(k)=Cx(k)$

对于一阶系统，$C=I$ ，因此：

$y(k)=x(k)$

4. 离散时间系统的状态空间表示

最终，离散时间系统的状态空间表示为：

$x(k+1)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)$

$y(k)=x(k)$

其中：

$A_d=e^{AT}$

$B_d=\frac{B}{A}(A_d-I)$是离散时间系统的输入矩阵。

通过这种方法，我们可以将任何连续时间线性时不变系统转换为离散时间系统，从而在数字控制系统设计和仿真中使用。