手把手教你理解支持向量机（SVM）：从“分界线”到“核魔法”

通过本文，我们进一步理解了SVM背后的几何直觉，还亲手实现了分类模型。记住，参数调节就像调整望远镜——需要耐心找到清晰的焦点。下次当你遇到复杂的分类问题时，不妨试试这把“机器学习中的瑞士军刀”

zhangfiner在努力

1235人浏览 · 2025-03-27 18:03:15

zhangfiner在努力 · 2025-03-27 18:03:15 发布

在前面文章中，我们学习了逻辑回归如何通过S形函数实现分类。

但你是否想过，当两类数据像两军对垒般整齐排列时，是否存在一条最安全的“楚河汉界”？这就是支持向量机（SVM）的绝妙之处——它不仅找分界线，还要找到让双方都最安全的“缓冲带”。今天，我们将揭开这个被称为“分类算法中的装甲车”的神秘面纱。

一、直观理解：如何找到最安全的边界？

1.1 生活中的类比

想象你在两堆不同颜色的气球（红/蓝）之间画分隔线：

普通分界线：可能随意画一条线，结果红色或蓝色气球可能离这条线非常近（下图左）
SVM的分界：则是找出一条“黄金中线”，使得左右两侧离该线的最近气球距离最大，形成一个安全的缓冲带（下图右）

上图对比两种分界方式，右图中黄色虚线表示最大间隔范围，黑色实线为最优超平面

1.2 关键概念解析

支持向量：离分界线最近的“哨兵”样本（图中被圈出的气球），这些点决定了超平面的最终位置和方向。
间隔（Margin）：分界线到两侧最近样本的距离之和，SVM 目标是最大化这个间隔，以提高模型的泛化能力。
超平面：在二维空间中就是一条直线，三维空间中为平面，依此类推。超平面将样本空间划分成两个部分。

1.3详细图解

蓝色和红色点 表示两个类别的数据；
黑色直线 表示分类超平面；
两条平行的虚线 表示间隔边界；
靠近虚线的点 为支持向量。

二、 SVM 的数学原理

2.1 线性可分情形

首先了解一下什么是线性可分，在二维平面中，线性可分就是指两类点可以被一条直线完全分开

假设我们的训练数据集为 $\{(\mathbf{x}_i, y_i)\}$ ，其中 $y_i \in \{+1, -1\}$ 。

也就是我们有一组训练样本，每个样本是一个特征向量 $\mathbf{x}_i$ 以及对应的类别标签 $y_i$ ，其中 $y_i$ 只能取两种值：+1 或 -1。一个线性分类器，即一个超平面，能够把两类数据分开。这个超平面可以表示为：

$f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^T\mathbf{x} + b$

其中，w 是一个权重向量，b 是偏置项。

对于正确分类的样本，我们需要满足：

$y_i (\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b) \geq 1$

为什么不写作 >0 呢？
虽然 $y_i (\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b) > 0$ 就能保证样本被正确分类，但我们这里额外要求每个样本与超平面之间至少有一个单位距离（通过约定“1”作为标准），这样可以统一尺度，便于后续推导“间隔”的概念。

再回来看间隔的概念

间隔的定义：对于一个超平面，其到某个点的距离计算公式是

$\frac{|\mathbf{w}^T\mathbf{x} + b|}{\|\mathbf{w}\|}$

支持向量：离超平面最近的那些点（刚好满足 $y_i (\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b) = 1$ 的点）称为支持向量。
间隔大小：对于支持向量来说，距离就是 $\frac{1}{\|\mathbf{w}\|}$

这说明如果我们想让间隔更大，就需要使 ${\|\mathbf{w}\|}$ 更小。

为了数学上处理方便，通常将问题写为最小化 $\frac{1}{2}\|\mathbf{w}\|^2$ （加个1/2对求导更简洁）：

$\min_{\mathbf{w},b} \quad \frac{1}{2}\|\mathbf{w}\|^2$

同时还需要满足对所有样本都正确分类的约束条件：

$\quad \text{s.t.} \quad y_i (\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b) \geq 1, \quad \forall i$

直接求解这个优化问题比较困难，所以我们引入拉格朗日乘子，将约束条件合并到目标函数中。引入每个约束对应的拉格朗日乘子 $\alpha_i$ 后，可以构造出一个拉格朗日函数。

通过求解这个拉格朗日函数的极值（通常先对 w 和 b 求偏导设为 0，再转化为对偶问题求解），我们最终能得到一个只依赖于支持向量的表达式。也就是说，只有那些恰好位于间隔边界上的数据点（支持向量）对最终决策边界起决定作用。

2.2 非线性与核技巧

现实问题中数据往往是非线性可分的，SVM 提出了软间隔概念，引入松弛变量 ξi\xi_iξi 允许一定的分类错误：

$\min_{\mathbf{w},b,\xi} \quad \frac{1}{2}\|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i}\xi_i \quad \text{s.t.} \quad y_i (\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b) \geq 1-\xi_i,\quad \xi_i \geq 0$

此外，通过核技巧，可以将数据映射到高维空间，在高维空间中寻找线性决策边界，从而解决非线性问题。常见的核函数有线性核、多项式核、高斯径向基核（RBF）等。

三、 Python 案例讲解

下面我们结合一个完整的案例，详细讲解如何使用 Python 中的 scikit-learn 库实现 SVM 分类。

3.1 数据准备与探索

在本例中，我们使用人工生成的数据集来模拟两个类别的分布情况。首先对数据进行可视化，以便更直观地理解数据分布情况。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置随机种子
np.random.seed(42)
# 生成数据
X1 = np.random.randn(50, 2) - [2, 2]  # 类别 +1
X2 = np.random.randn(50, 2) + [2, 2]  # 类别 -1
X = np.vstack((X1, X2))
y = np.hstack((np.ones(50), -np.ones(50)))

# 数据散点图
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(X1[:, 0], X1[:, 1], color='blue', label='类别 +1')
plt.scatter(X2[:, 0], X2[:, 1], color='red', label='类别 -1')
plt.xlabel('特征 1')
plt.ylabel('特征 2')
plt.title('数据分布')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

3.2 训练 SVM 模型

接下来，我们利用 scikit-learn 中的 SVC 类来训练 SVM 模型。这里我们使用线性核函数，针对线性可分数据进行训练。

from sklearn.svm import SVC

# 构造 SVM 模型，C 值很大表示我们希望硬间隔分类（尽量不允许错误分类）
svm_model = SVC(kernel='linear', C=1e5)
svm_model.fit(X, y)

# 输出模型参数
print("模型权重向量 w:", svm_model.coef_)
print("模型偏置 b:", svm_model.intercept_)

3.3 可视化决策边界和支持向量

我们对决策边界进行绘制，同时标记出支持向量。

# 获取模型参数
w = svm_model.coef_[0]
b = svm_model.intercept_[0]

# 绘制决策边界
xx = np.linspace(np.min(X[:, 0]) - 1, np.max(X[:, 0]) + 1, 100)
yy = -(w[0] * xx + b) / w[1]
margin = 1 / np.linalg.norm(w)
yy_down = yy - np.sqrt(1 + (w[0]/w[1])**2) * margin
yy_up = yy + np.sqrt(1 + (w[0]/w[1])**2) * margin

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(X[y==1, 0], X[y==1, 1], color='blue', marker='o', label='类别 +1')
plt.scatter(X[y==-1, 0], X[y==-1, 1], color='red', marker='s', label='类别 -1')
plt.plot(xx, yy, 'k-', label='决策边界')
plt.plot(xx, yy_down, 'k--', label='间隔边界')
plt.plot(xx, yy_up, 'k--')
plt.scatter(svm_model.support_vectors_[:, 0], svm_model.support_vectors_[:, 1],
            s=100, facecolors='none', edgecolors='k', label='支持向量')
plt.xlabel('特征 1')
plt.ylabel('特征 2')
plt.title('SVM 分类结果与支持向量')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

通过上面代码，可以直观看出SVM是如何划分数据，哪些点成了支持向量，以及决策边界如何确定

四、非线性问题与核函数

前面我们也提到过，对于一些比较复杂的数据，若无法用一条直线分隔开两类数据，那么就需要使用核函数

核类型	公式	适用场景
线性核	$K(x_i, x_j) = x_i^T x_j$	线性可分
多项式核	$(\gamma x_i^\top x_j + r)^d$	适度非线性
RBF核	$\exp\left( -\gamma \lVert x_i - x_j \rVert^2 \right)$	复杂非线性

代码示例：使用RBF核处理复杂数据

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.svm import SVC
# 生成月亮型数据集
from sklearn.datasets import make_moons
def plot_svc_boundary(model, X, y):
    # 创建网格
    x_min, x_max = X[:,0].min()-1, X[:,0].max()+1
    y_min, y_max = X[:,1].min()-1, X[:,1].max()+1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.02),
                         np.arange(y_min, y_max, 0.02))
    
    # 预测并绘制
    Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3)
    plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, edgecolors='k')
    
    # 标出支持向量
    plt.scatter(model.support_vectors_[:,0], 
                model.support_vectors_[:,1], 
                s=100, facecolors='none', edgecolors='k')
    plt.xlabel('Sepal Length')
    plt.ylabel('Sepal Width')
X, y = make_moons(n_samples=100, noise=0.15, random_state=42)

# 使用RBF核训练
svm_rbf = SVC(kernel='rbf', gamma=0.7, C=1.0)
svm_rbf.fit(X, y)

# 可视化决策边界
plt.figure(figsize=(10,6))
plot_svc_boundary(svm_rbf, X, y)
plt.title('RBF Kernel SVM on Moons Dataset')

五、关键参数解析：C与γ的博弈

5.1 正则化参数C

C值大：严格分类，间隔窄（可能过拟合）
C值小：允许误分类，间隔宽（提高泛化性）

5.2 RBF核参数γ

γ值大：单个样本影响范围小，决策边界崎岖
γ值小：影响范围大，边界平滑

通常可以使用交叉验证（Cross Validation）等方法对这些参数进行调优，找到模型在验证集上的最佳表现。

结语：从理论到实践的跨越

如果这篇文章对你有所启发，期待你的点赞关注，我会继续努力写出更加优质的文章！

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