在《深度学习（五）：循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法》中，我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。

一、从RNN到LSTM

在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置$t$都有一个隐藏状态$h^{(t)}$。

如果我们略去每层都有的$o^{(t)}$,$L^{(t)}$,$y^{(t)}$，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：

图中可以很清晰看出在隐藏状态$h^{(t)}$由$x^{(t)}$和$h^{(t-1)}$得到。得到$h^{(t)}$后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的$h^{(t+1)}$。

由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置$t$的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：

可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，这样的结构就可以解决梯度消失的问题。至于为什么，我稍后会总结一篇文章。

二、LSTM模型结构剖析

上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置$t$时刻的内部结构。

从上图中可以看出，在每个序列索引位置$t$时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态$h^{(t)}$，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为$C^{(t)}$。如下图所示：

除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置$t$的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。

2.1 LSTM之遗忘门

遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：

图中输入的有上一序列的隐藏状态$h^{(t-1)}$和本序列数据$x^{(t)}$，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出$f^{(t)}$。由于sigmoid的输出$f^{(t)}$在[0,1]之间，因此这里的输出$f^{(t)}$代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：
$$f^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)\text{(1)}$$

其中$W_f,U_f,b_f$为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。$\sigma$为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为$i^{(t)}$,第二部分使用了tanh激活函数，输出为$a^{(t)}$, 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：
$$i^{(t)}=\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i)\text{(2)}$$

$$a^{(t)}=tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a)\text{(3)}$$

其中$W_i,U_i,b_i,W_a,U_a,b_a$为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。$\sigma$为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态$C^{(t)}$。我们来看看从细胞状态$C^{(t-1)}$如何得到$C^{(t)}$。如下图所示：

细胞状态$C^{(t)}$由两部分组成，第一部分是$C^{(t-1)}$和遗忘门输出$f^{(t)}$的乘积，第二部分是输入门的$i^{(t)}$和$a^{(t)}$的乘积，即：
$$C^{(t)}=C^{(t-1)}\odot f^{(t)}+i^{(t)}\odot a^{(t)}\text{(4)}$$

其中，$\odot$为Hadamard积，在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

有了新的隐藏细胞状态$C^{(t)}$，我们就可以来看输出门了，子结构如下：

从图中可以看出，隐藏状态$h^{(t)}$的更新由两部分组成，第一部分是$o^{(t)}$, 它由上一序列的隐藏状态$h^{(t-1)}$和本序列数据$x^{(t)}$，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态$C^{(t)}$和tanh激活函数组成, 即：

$$o^{(t)}=\sigma (W_o{h}^{(t-1)}+U_o{x}^{(t)}+b_o)\text{(5)}$$

$$h^{(t)}=o^{(t)}\odot tanh(C^{(t)})\text{(6)}$$

通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。

三、 LSTM前向传播算法

现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态$h^{(t)}$,$C^{(t)}$，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了$W_f,U_f,b_f,W_a,U_a,b_a,W_i,U_i,b_i,W_o,U_o,b_o$这些参数。

前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：

1）更新遗忘门输出：
$$f^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)\text{(1)}$$

2）更新输入门两部分输出：
$$i^{(t)}=\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i)\text{(2)}$$

$$a^{(t)}=tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a)\text{(3)}$$

3）更新细胞状态：
$$C^{(t)}=C^{(t-1)}\odot f^{(t)}+i^{(t)}\odot a^{(t)}\text{(4)}$$

4）更新输出门输出：
$$o^{(t)}=\sigma (W_o{h}^{(t-1)}+U_o{x}^{(t)}+b_o)\text{(5)}$$

$$h^{(t)}=o^{(t)}\odot tanh(C^{(t)})\text{(6)}$$

5）更新当前序列索引预测输出：
$${\hat{y}}^{(t)}=\sigma (V{h}^{(t)}+c)\text{(7)}$$

整体的过程如下图所示

可以看到，在$t$时刻，$C^{(t)}$用于计算$h^{(t)}$和$C^{(t+1)}$。

四、LSTM反向传播算法推导关键点

有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。

在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态$h^{(t)}$的梯度${\delta }^{(t)}$一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态$h^{(t)}$和$C^{(t)}$。这里我们定义两个$\delta$，即：
$${\delta }_h^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}\text{(8)}$$

$${\delta }_C^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial C^{(t)}}\text{(9)}$$

反向传播时只使用了${\delta }_C^{(t)}$，变量${\delta }_h^{(t)}$仅为帮助我们在某一层计算用，并没有参与反向传播，这里要注意。如下图所示：

因为，我们在输出层定义的损失函数为对数损失，激活函数为softmax激活函数。因为，与RNN的推导类似，在最后的序列索引位置$\tau$的${\delta }_h^{(\tau )}$和${\delta }_C^{(\tau )}$为：
$${\delta }_h^{(\tau )}=\frac{\partial L}{\partial O^{(\tau )}}\frac{\partial O^{(\tau )}}{\partial h^{(\tau )}}=V^T({\hat{y}}^{(\tau )}-y^{(\tau )})\text{(10)}$$

$${\delta }_C^{(\tau )}=\frac{\partial L}{\partial h^{(\tau )}}\frac{\partial h^{(\tau )}}{\partial C^{(\tau )}}={\delta }_h^{(\tau )}\odot o^{(\tau )}\odot (1-tan{h}^2(C^{(\tau )}))\text{(11)}$$

接着我们由${\delta }_C^{(t+1)}$反向推导${\delta }_C^{(t)}$。

${\delta }_h^{(t)}$的梯度由本层的输出梯度误差决定，与公式（10）类似，即：
$${\delta }_h^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}=V^T({\hat{y}}^{(t)}-y^{(t)})\text{(12)}$$

而${\delta }_C^{(t)}$的反向梯度误差由前一层${\delta }_C^{(t+1)}$的梯度误差和本层的从$h^{(t)}$传回来的梯度误差两部分组成，即：
$${\delta }_C^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial C^{(t+1)}}\frac{\partial C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}}+\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}\frac{\partial h^{(t)}}{\partial C^{(t)}}={\delta }_C^{(t+1)}\odot f^{(t+1)}+{\delta }_h^{(t)}\odot o^{(t)}\odot (1-tan{h}^2(C^{(t)}))\text{(13)}$$

公式（13）的前半部分由公式（4）和公式（9）得到，公式（13）的后半部分由公式（6）和公式（8）得到。

有了${\delta }_h^{(t)}$和${\delta }_C^{(t)}$， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出$W_f$的梯度计算过程，其他的$U_f,b_f,W_a,U_a,b_a,W_i,U_i,b_i,W_o,U_o,b_o，V,c$的梯度大家只要照搬就可以了。
$$\frac{\partial L}{\partial W_f}=\sum _{t=1}^{\tau }\frac{\partial L}{\partial C^{(t)}}\frac{\partial C^{(t)}}{\partial f^{(t)}}\frac{\partial f^{(t)}}{\partial W_f}=\sum _{t=1}^{\tau }{\delta }_C^{(t)}\odot C^{(t-1)}\odot f^{(t)}\odot (1-f^{(t)})(h^{(t-1)}{)}^T\text{(14)}$$

公式（13）的由公式（1）、公式（4）和公式（9）得到。

由上面可以得到，只要我们清晰地搞清楚前向传播过程，且只使用了${\delta }_C^{(t)}$进行反向传播的话，反向传播的整个过程是比较清晰的。更详细的过程可以参看参考文献【2】。

在这里有必要解释下为什么反向传播不使用${\delta }_h^{(t)}$，如果与《深度学习（五）：循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法》里一样的话，那么${\delta }_h^{(t)}$的计算方式就不应该是(12)式了
$${\delta }_h^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}=V^T({\hat{y}}^{(t)}-y^{(t)})\text{(12)}$$

因为，$h^{(t)}$参与了$L^{(t)}$和 $L^{(t+1)}$的计算，所以在RNN文章里的求梯度方法，$\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}$应该是
$${\delta }_h^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}+\frac{\partial L}{\partial h^{(t+1)}}\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}\text{(12*)}$$

但是，这里是一个比较复杂的时序模型，如果使用RNN的思路，将$h^{(t+1)}$的部分也一起反向传播回来的话，这里的反向梯度根本无法得到闭式解。而只考虑一个的话，也可以做反向梯度优化，进度下降，但是优化起来容易的多，可以理解为这里做了一个近似。

五、 LSTM小结

LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。

参考文献

【1】LSTM模型与前向反向传播算法
转自该篇博客。

【2】LSTM Forward and Backward Pass

【3】Understanding LSTM Networks

【4】rnn和lstm资源收集