games 101 第二课

图形学里的变换

1、线性变换(linear transformation)定义

线性

• 定义1: 几何上, 线性代表直线, $y=kx+b$.
• 定义2: 一种运算同时满足特定的“可加性”和“齐次性”

齐次性

• 定义1: 一个表达式所有变量的次数相同, $a_1{x}_1+a_2{x}_2=0$
• 定义2: 输入扩大k倍，其函数相应的也扩大k倍, $f(kx)=kf(x)$.

可加性
$f(x+y)=f(x)+f(y)$.

线性变换

• 设$V$和$W$是两个向量空间。一种满足线性运算的变换$f: V \rightarrow W $。

• 形式上: 存在矩阵$M$, 满足: $MV=W$

2、线性变换举例

1)缩放变换

$$v=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{c}{k}_{1}x\\ k_{2}y\\ k_{3}z\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{ccc}{k}_1& 0& 0\\ 0& k_2& 0\\ 0& 0& k_3\end{array}\right]$$

2) 旋转变换

• 默认以原点为旋转中心
• 默认逆时针为旋转正方向

a.按固定轴旋转:
绕y轴特殊，$z叉乘x=y$
$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & 0& & 0& & 0\\ 0& & cos\varphi & & -sin\varphi & & 0\\ 0& & sin\varphi & & cos\varphi & & 0\\ 0& & 0& & 0& & 1\end{array}\right[$$

$$R_y(\varphi )=\left[\begin{array}{ccccccc}cos\varphi & & 0& & sin\varphi & & 0\\ 0& & 1& & 0& & 0\\ -sin\varphi & & 0& & cos\varphi & & 0\\ 0& & 0& & 0& & 1\end{array}\right[$$

$$R_z(\varphi )=\left[\begin{array}{ccccccc}cos\varphi & & -sin\varphi & & 0& & 0\\ sin\varphi & & cos\varphi & & 0& & 0\\ 0& & 0& & 1& & 0\\ 0& & 0& & 0& & 1\end{array}\right]$$

b.按任意点旋转:
先平移到原点->旋转->平移回来$R(T(c)\theta )T(-c)$

c.按任意轴的旋转:
Rodridues’ rotation formul todo

d.旋转矩阵是正交矩阵
矩阵的逆等于矩阵的转置

$$R(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & & -sin\theta \\ sin\theta & & cos\theta \end{array}\right]$$

$$R(-\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & & sin\theta \\ -sin\theta & & cos\theta \end{array}\right]$$

$$R(-\theta )=R(\theta {)}^T$$

$$R(-\theta )=R(\theta {)}^{-1}\text{\hspace{1em}(通过定义)}$$

$$R(\theta {)}^{-1}=R(\theta {)}^T$$

3、平移变换

$$\begin{gathered} x+x_t=x^{\prime } \\ y+y_t=y^{\prime } \\ z+z_t=z^{\prime } \end{gathered}$$

$$v=\left[\begin{array}{c}x+x_t\\ y+y_t\\ z+z_t\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$$
到目前为止, 平移变换不能通过线性变换表示。也就是找到一个矩阵$M$,满足: $Mv=w$。 为了让平移变换也可以通过线性变换得到, 需要引入新的工具齐次坐标系。

4、齐次坐标系（Homogeneous Coordinates)

https://oncemore2020.github.io/blog/homogeneous/

• 使用n+1个量来表示n维坐标
• 向量 $(x,y,z,0)$
• 点 $(x,y,z,1)$

“齐次”之名？
将欧式坐标的一个二维点 (1,2) 转换为齐次坐标，根据规则，可以选择 (1,2,1)，也可以选择 (2,4,2)，还可以选择 (4,8,4),(8,16,8)…，即 (k,2k,k),k∈ℝ 都是“合法”的齐次坐标表示，这些点都映射到欧式空间中的一点，即这些点具有 尺度不变性（Scale Invariant），是“齐性的”(同族的)，所以称之为齐次坐标。

5、齐次坐标表示线性变换

• 变换有顺序要求，矩阵乘法不满足交换律
• 矩阵的应用顺序是从右向左执行.$M_t{M}_{r}v$，先旋转，然后平移。
• 齐次变换矩阵，先应用线性变换(缩放、旋转)，然后应用平移变换。

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$