1、引言

随着数据量的不断增加和数据维度的不断扩展，如何进行高效的数据降维处理成为了一个热门话题。在数据分析领域，PCA算法作为一种常用的数据降维方法，可以对多个特征进行降维，提高计算效率和降低存储空间需求。本文以波士顿房价数据集为例，探讨如何利用PCA算法对房屋价格进行降维。

本文将通过 Python 代码实现 PCA 降维，并使用波士顿房价数据集进行演示。我们将从数据加载、模型训练到 PCA 降维和数据可视化全方位地展示 PCA 的作用和原理。以期读者对 PCA 有更深入的理解。

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2、加载和处理数据

我们将使用 Pandas 库加载波士顿房价数据集，并通过插值法填充缺失值，从而为后续的降维做好准备。首先，我们使用 pd.read_csv() 函数加载了名为 'HousingData.csv' 的数据集。接着，我们使用 isnull() 和 any() 函数检查数据集中是否有缺失值。若存在缺失值，则使用 interpolate() 函数进行插值法填充。然后，我们创建特征矩阵 X 和目标向量 y，同时对特征矩阵进行标准化，以方便后续的模型训练。

3、模型训练

我们需要将数据集分成训练集和测试集，并使用交叉验证选择最优的降维数量。我们使用 train_test_split() 函数将特征矩阵 X 和目标向量 y 分成训练集和测试集（test_size=0.2 表示训练集占80%，测试集占20%）。接着，我们使用 range() 函数建立了一个 range 对象，其中包括了从 1 到特征数的所有整数值。我们将用这个 range 对象控制循环的次数，以便逐渐增加主成分的数量。

对于每个 n_components 值，我们都训练了一个 PCA 模型，并在交叉验证下计算了模型的 R2（即得分）。最后，我们可视化了 R2 分数与使用的主成分数量之间的关系。图表展示出降维数量与其得分的关系，为后续的PCA降维做好准备。

通过上图，横轴为选取特征数量，纵轴为其得分，我们可以根据实际情况选取相应的降维数量。接下来，我们将通过计算协方差矩阵和特征值、特征向量来进行PCA降维。

4、PCA降维

在本节中，我们将通过计算协方差矩阵和特征值、特征向量来进行PCA降维，并选择前k个最大的特征值所对应的特征向量作为主成分。

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# 计算协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(X.T)
# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)
​
# 特征值从大到小排序
sorted_idx = eigenvalues.argsort()[::-1]
eigenvalues = eigenvalues[sorted_idx]
eigenvectors = eigenvectors[:, sorted_idx]
​
# 选择前k个最大的特征值所对应的特征向量作为主成分
k = 4  # 根据交叉验证手动选择最优k值
principal_components = eigenvectors[:, :k]
​
# 将原始数据投影到由选定的主成分构成的新空间中
new_data = np.dot(X, principal_components)

首先，我们使用 np.cov() 函数计算出特征矩阵 X 的协方差矩阵。接着，我们使用 np.linalg.eig() 函数计算协方差矩阵的特征值和特征向量。然后，我们按特征值从大到小排序，以便能够选择前k个最大的特征值所对应的特征向量作为主成分。在此例中，我们根据交叉验证手动选择了最优的k值为4。

最后，我们通过 np.dot() 函数将原始数据投影到由选定的主成分构成的新空间中。这样就实现了对数据的降维处理。接下来，我们将通过数据可视化来更好地理解PCA降维的效果。降维后的4个特征平行坐标图如图：

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