引言

在工程结构中，梁的振动分析至关重要。当梁受到轴向预载时，其振动特性会发生显著变化。本文基于变分法和哈密顿原理，推导轴向预载作用下的欧拉梁振动控制方程，并探讨其实际应用。本人水平有限，欢迎大家一起交流学习.

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一、理论基础

1. 哈密顿原理

哈密顿原理表明，系统在真实运动过程中，作用量（拉格朗日量对时间的积分）取极值：
$$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}(T-U)dt=0$$
其中，$T$为动能，$V$为势能。

2. 欧拉梁假设

• 平截面假设：梁弯曲时横截面保持平面且垂直于中性轴。
• 小变形假设：梁的挠度远小于其长度，忽略轴向应变。
• 线弹性材料：应力-应变关系服从胡克定律。
• 忽略剪切变形与转动惯量：适用于细长梁的高阶振动模态。

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二、控制方程推导

1. 动能与势能表达式

• 动能：梁的动能由横向运动速度引起。设梁的横向位移为 $w(x,t)$，密度为$\rho$，截面积为 $A$，则动能可表示为：
  $$T=\frac{1}{2}{\int }_0^L\rho A{\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)}^{2}dx$$

• 势能：包括弯曲应变能和轴向预载$P$ 的贡献
  $$U=\frac{1}{2}{\int }_0^{L}EI{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\right)}^{2}dx+\frac{1}{2}P{\int }_0^L{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^{2}dx$$

2. 哈密顿作用量变分

作用量 $S={\int }_{t_1}^{t_2}(T-V)dt$，其变分为：
$$\delta S={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\delta T-\delta U\right)dt=0$$

• 动能变分
  $$\delta T={\int }_0^L\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\delta \left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)dx$$
  交换变分与导数顺序：
  $$\delta T={\int }_0^L\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial }{\partial t}(\delta w)dx$$
  利用分部积分（对时间积分）：
  $$\delta T={\left[\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\delta w\right]}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho A\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}\delta wdxdt$$
  由于变分 $\delta w$在初始和终止时刻为零，第一项消失，得到：
  $$\delta T=-{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho A\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}\delta wdxdt$$

• 弯曲应变能变分：
  $$\delta U_1={\int }_0^{L}EI\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\delta \left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\right)dx$$
  两次分部积分后得到：
  $$\delta U_1=EI\left[{\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\delta \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)|}_0^L-{\frac{{\partial }^{3}w}{\partial x^3}\delta w|}_0^L+{\int }_0^L\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}\delta wdx\right]$$

• 轴向预载势能变分：
  $$\delta U_2=P{\int }_0^L\frac{\partial w}{\partial x}\delta \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)dx$$
  分部积分后得到：
  $$\delta U_2=P\left[{\frac{\partial w}{\partial x}\delta w|}_0^L-{\int }_0^L\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\delta wdx\right]$$

3. 控制方程

合并积分项并消去边界条件后，得到：
$$EI\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}-P\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\rho A\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=0$$

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三、实际应用

1. 简支梁振动频率分析

假设解为$w(x,t)=W(x)e^{i\omega t}$，代入控制方程：
$$EI{W}^{\prime \prime \prime \prime }-P{W}^{\prime \prime }-\rho A{\omega }^{2}W=0$$
对于简支梁，边界条件$W(0)=W^{\prime \prime }(0)=W(L)=W^{\prime \prime }(L)=0$，解得固有频率：
$${\omega }_n=\sqrt{\frac{EI}{\rho A}{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^4-\frac{P}{\rho A}{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2}$$

关键结论：

• 轴向压力 $P$ 降低固有频率，拉力则提高频率。
• 当 $P$ 达到欧拉临界载荷时，频率为零（屈曲）。

2. 工程案例

• 桥梁拉索：受拉力作用的拉索振动频率需考虑预张力影响。
• 机械轴：高速旋转轴受轴向载荷时可能发生动力失稳。
• 航空航天结构：机翼在气动载荷下的颤振分析需引入轴向力效应。

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结论

通过哈密顿原理和变分法，推导了轴向预载下欧拉梁的振动方程，其形式为四阶偏微分方程。该模型在工程中广泛应用于预测结构的动态特性及稳定性。