用梯度下降法求解w,b。

预设函数 Hypothesis Function
$$z=wx+b$$

损失函数 Loss Function
$$J(w,b)=\frac{1}{2}(z-y{)}^2$$

z是预测值，y是样本标签值。

求w的梯度
我们用J的值作为基准，去求w对它的影响，也就是J对w的偏导数（链式求导）：

$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}=\frac{\partial J}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w}$$

因为：

$$\frac{\partial J}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}[\frac{1}{2}(z-y{)}^2]=z-y$$ $$\frac{\partial z}{\partial w}=\frac{\partial }{\partial w}(wx+b)=x$$

所以组合起来：

$$\frac{\partial J}{\partial w}=\frac{\partial J}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w}=(z-y)\cdot x$$

求b的梯度
$$\frac{\partial J}{\partial b}=\frac{\partial J}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial b}$$

其中第一项前面算w的时候已经有了，而：

$$\frac{\partial z}{\partial b}=\frac{\partial (wx+b)}{\partial b}=1$$

所以：

$$\frac{\partial J}{\partial b}=\frac{\partial J}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial b}=(z-y)\cdot 1=z-y$$

代码

if __name__ == '__main__':
    eta = 0.1
    X, Y = ReadData()
    w, b = 0.0, 0.0
    #w,b = np.random.random(),np.random.random()
    # count of samples
    num_example = X.shape[0]
    for i in range(num_example):
        # get x and y value for one sample
        x = X[i]
        y = Y[i]
        # get z from x,y
        z = w*x+b
        # calculate gradient of w and b
        dz = z - y
        db = dz
        dw = dz * x
        # update w,b
        w = w - eta * dw
        b = b - eta * db

    print(w,b)

$dw=(z-y)\cdot x，db=z-y$，这个和公式推导完全一样。之所以有个dz是想保存中间计算结果，不重复劳动。因为这个函数是每次内循环都被调用的，所以要尽量优化。

另外，大家可以看到，在代码中，我们并没有直接计算损失函数值，而只是把它融入在公式推导中。

木头：哦！我明白了，原来大名鼎鼎的梯度下降，其实就是把推导的结果转化为数学公式和代码，直接放在迭代过程里！