XX^{T} 和 X^{T}X 的关系
协方差矩阵 和 格拉姆矩阵 的关系
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记 A=XTX，B=XXTA = X^TX， B = XX^TA=XTX，B=XXT。假设 X∈Rm×nX \in \R^{m \times n}X∈Rm×n，则 A∈Rn×nA \in \R^{n \times n}A∈Rn×n，B∈Rm×mB \in \R^{m \times m}B∈Rm×m。易得dim(A)=dim(B)=dim(X)dim(A) = dim(B) = dim(X)dim(A)=dim(B)=dim(X)
显然，A 和 B 都是对称半正定矩阵，且 A 有 n 个特征向量， B 有 m 个特征向量。
特征向量之间的关系：
若 u 是 B 的特征向量，即 Bu=λuBu = \lambda uBu=λu，则 XTuX^T uXTu 是 A 的特征向量。
证明：A(XTu)=XTXXTu=XTBu=XT(λu)=λ(XTu) A(X^T u) = X^TXX^Tu = X^TBu = X^T(\lambda u) = \lambda(X^T u) A(XTu)=XTXXTu=XTBu=XT(λu)=λ(XTu)
同理， 若 v 是 A 的特征向量，即 Av=λvAv = \lambda vAv=λv，则 XvX vXv 是 B 的特征向量。
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