在《用两天学习光线追踪》中，用了到折射向量的计算公式，最终实现效果如下：

项目链接：https://github.com/maijiaquan/ray-tracing-with-imgui

下面进行折射向量的推导。

对于折射，有个著名的公式：Snell’s law

$$\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{{\eta }_2}{{\eta }_1}$$
其中，${\theta }_1,{\theta }_2$分别是入射角和折射角，${\eta }_1,{\eta }_2$分别是两种介质的折射率。

下面根据入射光线向量$I$和法向量$N$，推导折射光线向量$T$。
用一个单位圆来辅助理解：对于二维平面的折射，$N$为两介质分界平面的法向量，$M$为平面上和$N$垂直的单位向量。

在单位圆内，可知
$$T=A+B\text{\hspace{1em}(1)}$$
$A$和$B$也很容易计算：
$$\begin{array}{l}A=M\sin ({\theta }_2)\\ B=-N\cos ({\theta }_2)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

因为$(I+C)$的方向就是$M$的方向，且 $(I+C)$ 的长度就是$\sin ({\theta }_1)$，所以 $(I+C)$ 除以其长度，就是单位圆上的单位向量 $M$：
$$M=\frac{(I+C)}{\sin ({\theta }_1)}\text{\hspace{1em}(3)}$$

由图可知：

$$C=\cos ({\theta }_1)N\text{\hspace{1em}(4)}$$

将$(2)(3)(4)$带入$(1)$有：

$$\begin{array}{l}T=A+B,\\ T=M\sin ({\theta }_2)-N\cos ({\theta }_2),\\ T=\frac{(I+C)\sin ({\theta }_2)}{\sin ({\theta }_1)}-N\cos ({\theta }_2),\\ T=\frac{(I+\cos ({\theta }_1)N)\sin ({\theta }_2)}{\sin ({\theta }_1)}-N\cos ({\theta }_2)\end{array}$$

再结合折射定律 Snell’s law：
$$\frac{\sin ({\theta }_2)}{\sin ({\theta }_1)}=\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}\text{\hspace{1em}(5)}$$

可得
$$T=\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}(I+\cos ({\theta }_1)N)-N\cos ({\theta }_2)\text{\hspace{1em}(6)}$$
根据勾股定理有：
$${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1\to \cos (\theta )=\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}\text{\hspace{1em}(7)}$$

根据Snell’s law有：
$$\sin ({\theta }_2)=\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}\sin ({\theta }_1)\text{\hspace{1em}(8)}$$

将$(7)(8)$带入 $(6)$得
$$T=\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}(I+\cos ({\theta }_1)N)-N\sqrt{1-{\left(\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}\right)}^2{\sin }^2({\theta }_1)}\text{\hspace{1em}(9)}$$

再根据勾股定理的变形：
$${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$$

消去${\sin }^2({\theta }_1)$，得：
$$T=\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}(I+\cos ({\theta }_1)N)-N\sqrt{1-{\left(\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}\right)}^2(1-{\cos }^2(\theta ))}\text{\hspace{1em}(10)}$$

根据向量点乘：
$$\cos ({\theta }_1)=N\cdot I$$
消去$\cos ({\theta }_1)$，最终得到折射向量$T$的公式：
$$T=\eta (I+c_{1}N)-N{c}_2\text{\hspace{1em}(11)}$$

其中，
$$\begin{array}{l}\eta =\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}\\ c_1=N\cdot I\\ c_2=\sqrt{1-{\eta }^2(1-c_1^2)}\end{array}$$

写成代码：

bool refract(const vec3& v_in, const vec3& normal, float n1_over_n2, vec3& refracted) {
    vec3 uv = unit_vector(v_in);
    float dt = -dot(uv, normal);
    float discriminant = 1.0 - n1_over_n2*n1_over_n2*(1-dt*dt);
    if (discriminant > 0) {
        refracted = n1_over_n2*(uv + normal*dt) - normal*sqrt(discriminant);
        return true;
    }
    else
        return false;
}

参考资料：https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/introduction-to-shading/reflection-refraction-fresnel