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假如$x,y\sim U(0,1)$, 也就是说$x,y$都是$(0,1)$上的均匀分布.
问题是:$z=|x-y|$是什么分布?

采样并列图表

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 500000

data = []
for k in range(N):
    x1 = np.random.rand()
    x2 = np.random.rand()
    d = np.abs(x1-x2)
    data.append(d)

n, bins, patches = plt.hist(data, 50)

plt.title('Histogram some')
plt.grid(True)
plt.show()

可见这$z=|x-y|$的分布是一个三角形分布.

分析

通过上面的分析, 我们可以确定$z=|x-y|$的概率密度函数为 $$p(z)=\{\begin{array}{r}2(1-z),z\in (0,1)\\ 0,(otherwise)\end{array}$$

但是如何分析得到这个概率密度函数呢? 我的方法是画出$z=|x-y|$的函数图像.

注意上面的图像是个3D图像. 那么我们如何计算概率密度? 首先计算,
图像表面积是多少. $${\int }_0^{1}2\sqrt{2}(1-z)dz=\sqrt{2}$$

高度为z的点构成两条直线, 这两条直线的长度为$2\sqrt{2}(1-z)$,
有此可见,点$z$处的概率密度为 $2\sqrt{2}(1-z)/\sqrt{2}=2(1-z)$.
于是原式得证. 这里其实就是要除以一个表面积的总和而已.
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