向量

点积

点积性质

点积的作用

• 计算两个向量的夹角
  
• 计算一个向量在另一个向量上的投影
  
• 衡量两个向量方向的接近程度
  两个单位向量同向时点积为1，反向时为-1，为0时互相垂直。点积大于0时，点积越接近1说明方向越趋于相同。点积小于0，点积越接近-1说明方向越趋向于不同。
• 分解向量
  

在坐标轴上分解向量，只要将向量投影到其中一个坐标轴上，平行向量使用原向量减去投影向量得到。

• 判断前后关系
  
  如图，向量a表示当前物体的朝向，那么其他物体的位置在当前物体前面还是后面，只要从当前物体指向其他物体的位置构造出一个方向向量，例如图中的向量b和c，计算点积，如果大于0则该点在物体前方，小于0则在后方。

叉积

叉积性质

使用矩阵表示叉积

叉积的作用

• 判断左右
  
  所谓向量b在向量a的左侧，是指向量a向左旋转（逆时针旋转）得到向量b。右侧则是向右旋转（顺时针旋转）。
  如图，为了判定向量b在向量a的左侧还是右侧，在a，b所在的局部坐标系中进行考察，其中a，b所在的平面为xy平面（当然也可以是其他坐标平面如yz,zx）。计算 a 叉积 b，为红色的向量（本课程使用右手坐标系），因为此叉积的z值大于0，那么b在a的左侧。同样，为了判定向量a在b的右侧，计算b叉积a，得到蓝色的向量，此向量的z值小于0 ，因此a在b的右侧。
  通过叉积的z值判定旋转是向左还是向右，其实是判断旋转方向是否和坐标系的正旋转方向一致。对于右手坐标系，逆时针为正，因此a向左逆时针旋转到b的叉积也应该和z轴同向。对于左手坐标系，逆时针为负，因此a向左逆时针旋转到b得到的叉积是和z轴反向的。
• 判断内外
  
  如图，判断点P是否在三角形ABC内部。当ABC顺时针排列时，判断P在AB的左侧（通过AB叉积AP判断），同样判断P在BC的左侧（通过BC叉积BP判断），以及判断P在CA的左侧（通过CA叉积CP判断），当P同时在这三条边左侧时即可判断P在三角形内部。而当ABC逆时针排列时，点P在ABC内部的条件为点P同时在三条边的右侧。所以无论ABC是顺时针还是逆时针排列，当P同时在三条边同一侧（左侧或右侧）时，P在三角形内部。

变换

仿射变换

• 仿射变换=线性变换+平移
  
• 使用齐次坐标表示仿射变换
  

• 仿射变换的顺序：先进行线性变换，再进行平移变换
• 3D空间中，绕任意轴旋转的矩阵的计算方法：罗德里格斯旋转公式
  
  推导出最终公式的过程较复杂，但思想很简单，就是将向量分解成平行和垂直与旋转轴的两个分量，对于平行分量不会旋转，所以只要计算垂直分量的旋转，这是一个2D旋转，然后将旋转后的垂直分量和平行分量再加起来。推导公式的难点是最后要满足公式的形式，网上可以搜索到推导过程。个人觉得没必要研究这个（目前没发现用的地方），因为如果只是为了得到绕任意轴的旋转矩阵，按照上面的思路还是比较容易推导出矩阵的，况且实际3D引擎中已经很少直接使用旋转矩阵了，要么就是使用欧拉角最终合并成矩阵（大部分情况是够用的），要么就是使用四元数表示旋转，最后再转换成旋转矩阵。
  另外公式中最后一项的3x3矩阵其实就是叉积。

关于推导任意空间变换矩阵

其实只要计算三个单位向量变换后的向量即可，然后将三个变换后的向量填到矩阵的3个列中（对于矩阵向量乘法，矩阵在左侧的惯例来说）。例如：
向量$(1,0,0)$变换到新的坐标空间之后，在新的坐标空间中的向量为$(a_x,a_y,a_z)$
向量$(0,1,0)$变换到新的坐标空间之后，在新的坐标空间中的向量为$(b_x,b_y,b_z)$
向量$(0,0,1)$变换到新的坐标空间之后，在新的坐标空间中的向量为$(c_x,c_y,c_z)$
那么我们可以得到从老坐标空间变换到新坐标空间的变换矩阵是：
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& b_x& c_x\\ a_y& b_y& c_y\\ a_z& b_z& c_z\end{array}\right]$$
这其实很容易验证，因为这样得到的矩阵，用来变换单位向量，例如$(1,0,0)$
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& b_x& c_x\\ a_y& b_y& c_y\\ a_z& b_z& c_z\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]$$

推导视图变换矩阵

视图矩阵的作用是将场景中所有物体的顶点变换到Camera默认位置朝向所确定的空间即视图空间中（例如GAMES101的规范中，camera默认在世界坐标系中朝向负Z轴，Up方向为正Y轴，且Camera位于世界原点）。而Camera本身可处于世界空间任意位置且朝向和up方向也任意。注意到物体和camera同时做同样的移动旋转时，他们是相对静止的，画面不会改变。因此视图矩阵只要能将camera从当前位置朝向变换到默认位置朝向即可。如何计算这个矩阵呢？

• 首先我们要将camera移动到默认位置即原点，使用一个平移矩阵$T=(-CameraX,-CameraY,-CameraY)$即可。
• 然后我们要将camera从任意朝向以及up方向旋转到默认朝向和up方向。这个旋转不是那么容易确定。但是很容易确定反方向的旋转。即从默认朝向以及Up方向旋转到当前朝向和up方向。我们只要计算出这个方向旋转矩阵$R_{reverse}$,然后对其求逆，即可得到旋转矩阵$R$。
• 最后我们只要将旋转矩阵和平移矩阵合并，即可得到视图变换矩阵$M_{view}=R\ast T$，注意这里是先平移后旋转。（而仿射变换是先旋转后平移，因此不能直接将旋转和平移矩阵填入到仿射变换矩阵中）

因此问题的重点是计算反向旋转矩阵$R_{reverse}$。参考上面说的任意坐标空间之间的变换矩阵的计算方法，我们只要找到变换后的三个轴即可，然后分别填入到矩阵的3个列中。

1. Z轴，从默认朝向$(0,0,-1)$经过变换后得到的朝向就是当前camera的朝向，设为$LookAt$，由于$(0,0,-1)$对应了$LookAt$，所以$(0,0,1)$对应了$-LookAt$，即变换后的Z轴为$-LookAt$
2. Y轴，默认的up方向就是Y轴为$(0,1,0)$,而变换后的Y轴就是当前camera的up方向，设为$Up$，即变换后的Y轴为$Up$
3. X轴，默认的x轴就是$(1,0,0)$，而变换后的X轴可通过叉乘计算得到，为$Up叉乘-LookAt$，这就是变换后的X轴。

经过此三步，我们已经得到变换后的x,y,z轴了，那么直接填入矩阵的3个列就得到了从camera默认位置变换到当前位置位置的旋转矩阵$R_{reverse}$，然后由于旋转矩阵是正交矩阵，那么其逆矩阵就是其转置矩阵，所以可以很容易得到其逆矩阵，也就是视图变换中的旋转矩阵$R=Transpose(R_{reverse})$

推导投影矩阵

详见GAMES101投影矩阵推导详解和分析

作业1

作业1主要是练习推导几个矩阵，如果弄明白了以上所有重点，难度不大。由于GAMES101课程作业是要循环使用的，按照闫老师所说，不要直接把作业代码放到开源网站上。所以我也就不直接贴作业代码了。但是我综合GAMES101的光栅化部分的理论和方法，基于Unity实现了一个软件光栅器，可以在Unity的Game窗口叠加Unity自己的camera渲染的效果进行比较，可以比较直观的判断有没有写错。目前基本的矩阵变换和光栅化已经完成，可以作为一个参考。

项目地址：https://gitcode.net/n5/urasterizer