还是从最简单的低通滤波器传递函数入手

前文中提到的巴特沃兹一阶滤波器，所以我们先研究这个最简单的滤波器传递函数：
$$H(s)=\frac{{\Omega }_c}{{\Omega }_c+s}$$

对于一阶高低shelf 滤波器可以理解为按住一头，调整另一头的滤波器。low shelf滤波器就是高频部分直通，低频部分可调。那么根据低通滤波器，我们如何得到一个low shelf滤波器呢？其实也很简单，只需要两步：

第一步：给低通增加一个增益控制旋钮（系数）

我们定义一个系数$B_0$，然低通滤波器的低通增益可调。$$H(s)=B_0\frac{{\Omega }_c}{{\Omega }_c+s}=\frac{B_0{\Omega }_c}{{\Omega }_c+s}$$
这个一阶低通滤波器的传递函数,当s=0时, |H(s)|=$B_0$;当s=$\infty$，|H(s)|=0。截止频率${\Omega }_c$。

第二步：并联一个直通信号 y（n）= x（n）

并联直通信号的结果是传递函数,当s=0时, $|H(s)|=1+B_0$;当s=$\infty$，|H(s)|=1。截止频率${\Omega }_c$。下面是传递函数的数学表达：$$H(s)=1+\frac{B_0{\Omega }_c}{{\Omega }_c+s}$$
这里${\Omega }_c$=2$\pi$$f_c$,。

low变high

用s= $\frac{1}{s}$ 带入上面的公式，就会得到high filter滤波器了。
$$H(s)=1+\frac{B_0{\Omega }_c}{{\Omega }_c+\frac{1}{s}}=1+\frac{B_0{\Omega }_{c}s}{{\Omega }_{c}s+1}=1+\frac{\frac{B_{0}s}{{\Omega }_c}}{\frac{s}{{\Omega }_c}+1}=1+\frac{B_{0}s}{s+{\Omega }_{\pi }}$$
可以直观的观察当s=0时, |H(s)|=1;当s=$\infty$，$|H(s)|=1+B_0$。那此时的截止频率${\Omega }_{\pi }$=$\frac{1}{{\Omega }_c}$，回忆高通滤波器的传递函数
$$H(s)=\frac{s}{s+{\Omega }_h}$$
high shelf滤波器也可以理解为带有增益的高通滤波器和直联信号的并联形式。

从模拟到数字，依然双线性变换

本例给出low shelf 的推导

low shelf传递函数的数学表达：$$H(s)=1+\frac{B_0{\Omega }_c}{{\Omega }_c+s}$$
数字滤波器的截止频率计算公式：$${\omega }_c=\frac{2\pi f}{f_s}$$

数字和模拟频率的转换关系：$${\Omega }_c=\frac{{\omega }_c}{T}$$
双线性变换一般要求对频率作预畸变处理，采用如下公式：$${\Omega }_c=\frac{2}{T}\tan \frac{{\omega }_c}{2}$$
带入双线性变换公式：$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}和{\omega }_c=\frac{2\pi f_c}{f_s}$$

直接变换我们得到
$$H(s)=\frac{((1+B_0)\pi f_c+f_s)+((1+B_0)\pi f_c-f_s)z^{-1}}{(\pi f_c+f_s)+(\pi f_c-f_s)z^{-1}}=\frac{Y(Z)}{X(Z)}$$
双线性变换：$$H(s)=\frac{((1+B_0)\tan \frac{\pi f_c}{f_s}+1)+((1+B_0)\tan \frac{\pi f_c}{f_s}-1)z^{-1}}{(\tan \frac{\pi f_c}{f_s}+1)+(\tan \frac{\pi f_c}{f_s}-1)z^{-1}}=\frac{Y(Z)}{X(Z)}$$
差分方程略。

频域分析

利用Octave开源的工具，我们设定采样频率$f_s$和截止频率$f_c$，绘出$H(z)$频域响应曲线。假定在音频输出处理中，采样率48000Hz，2000Hz以上的频率需要保持，低于 2000Hz的频率根据外设选择shelf 参数。
直接变换我们得到
$$H(z)=\frac{((1+B_0)6283.1853+48000)+((1+B_0)6283.1853-48000)z^{-1}}{54283.1853-41716.8147z^{-1}}$$
$$=\frac{((1+B_0)6.283+48)+((1+B_0)6.283-48)z^{-1}}{54.283-41.717z^{-1}}$$
$$=\frac{(G0.6283+4.8)+(G0.6283-4.8)z^{-1}}{5.4283-4.1717z^{-1}}$$
这里令$G=1+B_0$，当G=1.414的时候。我们绘出频响曲线：
可以看出$\omega =0$的时候，H(j$\omega$)=3dB。高频部分增益为0dB。
当G=0.707的时候。我们绘出频响曲线：
可以看出$\omega =0$的时候，H(j$\omega$)=-3dB。高频部分增益为0dB。

结论

至此，我们一阶的shelf滤波器设计完成，谢谢。