其实softmax回归也可以看作分类问题。

关于分类和回归上一篇博客以及叙述过了，在此我再粘贴一下

1.回归与分类

学基本元素之前，我们需要先理解回归和分类的区别

相同点：两者都是对输入的特征，判断并预测类别。

不同点：

1.输出不同。  分类问题是输出物体所属类别，回归问题是输出值。

比如说：南阳最近下暴雨，分类问题就会输出过几天是下雨，还是多云，还是晴天。回归问题，就会判断过几天的温度是多少到多少摄氏度。

分类问题是定性的，离散的，回归问题是定量的，连续的。

2.目的不同。

分类的目的是为了寻找决策边界，即分类算法得到是一个决策面，用于对数据集中的数据进行分类。

回归的目的是为了找到最优拟合，通过回归算法得到是一个最优拟合线，这个线条可以最好的接近数据集中的各个点。

3.结果不同。

分类的结果说一不二，回归可以有逼近，损失很小就是很不错的回归了。

1.1独热编码

独热编码通常用于将分类变量转换为机器学习算法可以处理的数值形式。

在独热编码中，每个类别被表示为一个仅在对应位置为1，其余位置为0的二进制向量。这意味着，对于N个不同的类别，每个类别将被编码为一个长度为N的向量，其中只有一个元素是1，其余都是0。（1，1，0）就是错误的形式

2.softmax回归

2.1softmax网络架构

图中x1到x4就是四个特征

而o1，o2，o3，o4就是输出的类别

上面是如何计算输出，不同的特征与标签之间的权重都是不同的。输出的标签对应的偏置也是不同的。

那我们为什么要用softmax运算呢？

我们希望输出的y为类的概率，然后选择最大输出值的类作为预测值

但是线性层的输出时，我们要怎么限制输出概率的总和等于1呢？我们要怎么限制它不是负数呢？

所以我们引入了softmax模型，使预测变换为非负数并且总和为1，同时模型可导。

分子是指数幂，分母是指数幂求和

这个是损失函数

上面这个图是把y（j）代入进去

第二行到第三行是因为概率和为1就不写了

最后面是对o输出求导得出预测概率与实际概率的差异，导数等于0损失也就小了

突然懂了。

o是以及做好的预测但是不规范，咱想把它转换为概率来进行后续操作，而softmax能把这些输出规范化！！！

2.2熵

该数值被称为分布𝑃的熵

你仔细读一读 这个熵等于主观概率✖信息量

期望就是不同的类别对应的概率与相应的类别相乘再加和就是期望（均值），也就是最后得出来的是信息量

假设在一次考试中，获得90分的概率是 10%，获得100分的概率是 90%，获得10分的概率是 0%。那么，这次考试的数学期望为：90*10%+100*90%+0%=99分这表明，从平均意义上讲，这次考试的得分将是99分。

意外程度就可以对应成绩的概率，信息量就对应获得的分数。

 你看这个意思就是：p概率生成的数据与q概率生成的数据一样

好了这个例子很给力！

 2.3精度

接下来的实验中，我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。 精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

2.4对数似然

3.47到3.4.8之中牵扯到独热编码，因为只有一个特征为1，所以其他yj都等于0了，所以3.4.8中的yj就代表着1

3图像分类数据集

import matplotlib as plt

import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l

d2l.use_svg_display()

# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得所有像素的数值均在0～1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
len(mnist_train), len(mnist_test)
mnist_train[0][0].shape
def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save
    """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]
def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save
    """绘制图像列表"""
    figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
    _, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
    axes = axes.flatten()
    for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
        if torch.is_tensor(img):
            # 图片张量
            ax.imshow(img.numpy())
        else:
            # PIL图片
            ax.imshow(img)
        ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        if titles:
            ax.set_title(titles[i])
    return axes
X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y));
batch_size = 256

def get_dataloader_workers():  #@save
    """使用4个进程来读取数据"""
    return 4

train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                             num_workers=get_dataloader_workers())
timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
    continue
f'{timer.stop():.2f} sec'
def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))
train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break

mnist_train[0][0].shape 输出的是

torch.Size([1, 28, 28])1代表通道数，28*28是高和宽的像素值

4.softmax回归从零开始实现

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

引入的Fashion-MNIST数据集， 并设置数据迭代器的批量大小为256（batch_size）

初始化模型参数：

我们把28*28展开为784，把784视为784个特征，又因为定义了10个类别，所以w是784*10的矩阵，b是1*10的矩阵

因为要对w和b进行更新所以requires_grad=True

num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

定义softmax函数

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

我知道大家又迷了所以我把公式再搬过来

（1，keepdim=True）中的1就是每一行的指数幂相加，每一行也就是一个样本的所有特征值

   keepdim=True解析

默认情况下，当对这些函数进行操作时，如果指定了dim参数（指定了要进行操作的维度），那么该维度会在结果中被移除，导致输出张量的维度比原张量少一维。然而，如果你设置keepdim=True，那么指定的维度（即使在该维度上进行了求和、求平均等操作）仍会保留在输出张量中，只不过在该维度上的尺寸为1。

下面是具体实操：

定义模型

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

因为w是784行保存在w.shape【0】中，进行矩阵相乘，x的列需要和w相同

这个网络就是把输出的y进行softmax运算，使成为一个概率，而且几个类别对应的概率和为1

定义损失函数

在交叉熵损失之前我们先了解一下y_hat

y = torch.tensor([0, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y_hat[[0, 1], y]

tensor([0.1000, 0.5000])

由这个输出结果我们可以看出来

y是样本标签

【0，1】对应第一个标签和第二个标签

而第一个标签对应的是0 所以在预测的y_hat中为第一个值0.1

而第二个标签对应的是2 所以在预测的y_hat中为第三个值0.5

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

cross_entropy(y_hat, y)

len（y_hat)对应的是类别数量

后面的根据y_hat就很容易理解了

分类精度

def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

if两个条件分别是类型大于1，且对这些类型的概率的数量也大于1，不然就没什么预测意义了

我们将预测类别与真实y元素进行比较。 由于等式运算符“==”对数据类型很敏感， 因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。 结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。 最后，我们求和会得到正确预测的数量

正确率就是正确预测的数量/总数量

accuracy(y_hat, y) / len(y)

求精度

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]

metric【0】存放正确预测值metric【1】存放预测总数

定义累加器： 

class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

训练 

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型（定义见第3章）"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc
lr = 0.1

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)
num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

动画

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

预测

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签（定义见第3章）"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)

谢谢大家观看！