矩阵的秩：行秩等于列秩
矩阵的秩秩其实就是刻画了：秩就是线性无关列（行）向量的最大数目。一个重要的结论是：行秩等于列秩。设AAA是一个m×nm \times nm×n 的矩阵，其列秩为 rrr . 因此AAA的列空间的维度是rrr . 令 c1,c2,…,crc_{1},c_{2}, \ldots ,c_{r}c1,c2,…,cr 是 AAA 的列空间的一组基，构成 m×rm\timesrm×r 矩阵 C...
矩阵的秩
秩其实就是刻画了：秩就是线性无关列（行）向量的最大数目。
一个重要的结论是：行秩等于列秩。
设AAA是一个m×nm \times nm×n 的矩阵，其列秩为 rrr . 因此AAA的列空间的维度是rrr . 令 c1,c2,…,crc_{1},c_{2}, \ldots ,c_{r}c1,c2,…,cr 是 AAA 的列空间的一组基，构成 m×rm\times rm×r 矩阵 CCC的列向量 C=[c1,c2,…,cr]C=[c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}]C=[c1,c2,…,cr]，并使得AAA 的每个列向量是 CCC的rrr 个列向量的线性组合.
那么存在一个 r×nr \times nr×n矩阵 RRR, 使得 A=CRA = CRA=CR. AAA 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素是 cic_ici 与 RRR 的第 jjj 个行向量的点积.
现在，由于 A=CRA = CRA=CR, AAA 的每个行向量是 RRR 的行向量的线性组合，这意味着 AAA 的行向量空间被包含于 RRR 的行向量空间之中. 因此 AAA 的行秩 ≤ RRR的行秩. 但RRR仅有rrr行, 所以RRR的行秩 ≤\le≤ rrr = AAA的列秩. 这就证明了AAA的行秩 ≤A≤ A≤A的列秩.
考虑AAA的转置矩阵ATA^\mathrm{T}AT，则A的列秩 = ATA^\mathrm{T}AT的行秩 ≤AT≤ A^\mathrm{T}≤AT的列秩 = AAA的行秩.
即：AAA的列秩 ≤A≤ A≤A的行秩.
综上，AAA的列秩 =A= A=A的行秩. 证毕.
Ref
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9_(%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0)
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