一元三次方程$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$的解法

首先将方程
$$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$
转化为
$$x^3+px+q=0$$
的形式，步骤如下：
令
$$x=y-\frac{b}{3a}$$
则原式变成<=>
$$a(y-\frac{b}{3a}{)}^3+b(y-\frac{b}{3a}{)}^2+c(y-\frac{b}{3a})+d=0$$
<=>
$$a(y^3-\frac{b{y}^2}{a}+\frac{b^{2}y}{3a^2}-\frac{b^3}{27a^3})+b(y^2-\frac{2by}{3a}+\frac{b^2}{9a^2})+c(y-\frac{b}{3a})+d=0$$
<=>
$$a{y}^3-b{y}^2+\frac{b^2}{3a}y-\frac{b^3}{27a^2}+b{y}^2-\frac{2b^2}{3a}y+\frac{b^3}{9a^2}+cy-\frac{bc}{3a}+d=0$$
<=>
$$a{y}^3+(c-\frac{b^2}{3a})y+(d+\frac{2b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a})=0$$
<=>
$$y^3+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2})y+(\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2})=0$$
如此一来二次项就不见了，化成
$$y^3+py+q=0$$
的形式，其中
$$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}$$
对于方程
$$y^3+py+q=0$$
可以直接利用卡尔丹公式：
$$y_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}$$

$$y_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}+{\omega }^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}$$

$$y_3={\omega }^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}$$
其中
$$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

根的判别式：
$$\Delta =(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3$$
当$\Delta >0$时，有一个实根两个共轭虚根；
当$\Delta =0$时，有三个实根，且其中至少有两个跟相等；
当$\Delta <0$时，有三个不等实根；

卡尔丹公式的推导请见下篇博文。