热方程图像去噪原理以及Matlab代码实现

初学图像，不足之处请指正

本文主要分成两个部分

1. 原理，偏微分方程给图像去噪

首先我们考虑一类偏微分方程———热传导方程，他描述了一个区域内温度在一段时间的变化情况，热方程的解是具有将初始温度平滑的性质的，既温度的由高到低的传播过程，二维热方程的表达式为：
$$\{\begin{array}{r}{u}_t(x,y,t)=\Delta u(x,y,t)\\ u(x,y,0)=u(x,y)\end{array}$$
如果将图像看成一种能量分布，则亮的区域就代表温度高的区域，暗的区域代表温度低的区域，通过热方程，亮的区域会逐渐变暗，暗的区域会逐渐变亮，这样能量分布就会越来越均匀，相应地，图像也就会变得越来越光滑。
现在我们将方程离散化，设t时刻的图像方程为$u_{i,j}^t,$
时间离散为$t_1,t_2,..,t_n$，利用五点差分格式则偏导数可写成如下格式
$$\frac{u_{i,j}^{t_n}-u_{i,j}^{t_n-1}}{\tau }=\frac{1}{h^2}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{i,j})$$
其中$\tau$和$h$是很小的时间间隔和步长间隔。

2. Matlab程序编码示例

首先将图片读入MATLAB内存空间，既输入如下代码：

I0 = imread('D:\Users\cc\Documents\Pictures\Saved Pictures\77.jpg');
I1 = rgb2gray(I0);

根据离散化的方程编写程序代码：

u = double(I1);
[m,n] = size(u);
k = 10;
dt = 0.25;
dh = 1;
cc = ceil(n/2);
kk = u(:,cc);
In = double(I1);
for i = 1:k
   u =  u + dt/dh*(u([2:m, m],:)+u([1, 1:m-1],:)+u(:,[2:n, n])+u(:,[1, 1:n-1])-4*u);
   [m,n] = size(u);
   yy = u(:, cc);
   xx = 1:m;
   plot(xx,yy, '-r', xx, kk,'k');
   pause(0.5);
   figure(1);
end
figure(2); imshow(I1);
figure(3); imshow(uint8(u));

k代表的是迭代次数，运行后的结果可以看出，经过热方程处理后，k越大，去噪效果也就越明显，图像也就变得更加模糊，也就是变得平滑了。