复数的引入

追根求源，最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-3">x^2+1=0</script>
这个由实数组成的方程，显然没有实数根。
所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。
首先引入一个“新数”ii<script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">i</script>。使它满足
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-5">i^2=-1</script>
也就是说ii<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">i</script>是 <script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-7">x^2+1=0</script>
的解。
我们再给复数定义：
形如z=a+biz=a+bi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">z=a+bi</script>的数就是复数。
其中aa<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">a</script>和b $b$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">b</script>分别叫做复数zz<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">z</script>的实部和虚部。
注意，b $b$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">b</script>才是虚部，bibi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">bi</script>不是虚部。
记作： <script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-14">a=Re(z),b=Im(z)</script>

复数z=a+biz=a+bi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">z=a+bi</script>的分类

当虚部b=0b=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">b=0</script>时，复数zz<script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">z</script>是实数；
当虚部b!=0 $b!=0$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">b!=0</script>时，复数zz<script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">z</script>是虚数；
当虚部b!=0 $b!=0$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">b!=0</script>，且实部a=0a=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">a=0</script>时，复数zz<script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">z</script>是纯虚数。

一些集合的记号

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-23">R——实数集，C——复数集</script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-24">P——虚数集，Q——纯虚数集</script>
有下列关系：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-25">R\cap P=\phi</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-26">R\cup P=C</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-27">Q\subsetneq P\subsetneq C</script>

复数相等的充分必要条件

设两个复数分别为z1=a+biz1=a+bi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">z_1=a+bi</script>,z2=c+diz2=c+di<script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">z_2=c+di</script>，而二者相等的充分必要条件是a=ca=c<script type="math/tex" id="MathJax-Element-30">a=c</script>而且b=db=d<script type="math/tex" id="MathJax-Element-31">b=d</script>。

化虚为实是复数问题的通性通法

复数的运算法则

对于两个复数z1=a+biz1=a+bi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">z_1=a+bi</script>，z2=c+diz2=c+di<script type="math/tex" id="MathJax-Element-33">z_2=c+di</script>
z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1+z2=(a+c)+(b+d)i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</script>
z1−z2=(a−c)+(b−d)iz1−z2=(a−c)+(b−d)i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</script>
z1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)iz1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-36">z_1\times z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</script>
z1z2=a+bic+di=(a+bi)×(c−di)(c+di)×(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2z1z2=a+bic+di=(a+bi)×(c−di)(c+di)×(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\times(c-di)}{(c+di)\times (c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}</script>

复数的运算定律

复数的加法满足交换律，结合律。
也就是

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-38">z_1+z_2=z_2+z_1</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-39">(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)</script>
复数的乘法满足交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律。
也就是 <script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-40">z_1\times z_2=z_2\times z_1</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-41">(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-42">z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3</script>

共轭复数

定义

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数。特别地，若复数的虚部不为零时，也称作互为共轭虚数。对于复数z=a+bi(a、b∈R)z=a+bi(a、b∈R)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-43">z=a+bi(a、b∈R)</script>，它的共轭复数用z¯=a−bi(a、b∈R)z¯=a−bi(a、b∈R)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-44">\bar z=a-bi(a、b∈R)</script>来表示。
共轭复数有如下基本性质

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-45">(1) \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-46">(2)\overline{z_1z_2}=\overline{z_1} \ \overline{z_2}</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-47">(3)\overline{(\frac {z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-48">(4)\overline{z^n}=(\overline z)^n</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-49">(5)z+\overline z=2Re(z),z-\overline z=2iIm(z)</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-50">(6)\overline {\overline z}=z</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-51">(7)z是实数的充分必要条件是\overline z=z;z是纯虚数的充分必要条件是\overline z=-z且z!=0</script>

复数的几何形式

复数zz<script type="math/tex" id="MathJax-Element-801">z</script>和复平面上的点Z(a,b) $Z(a,b)$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-802">Z(a,b)</script>有着一一对应的关系，同时，复平面上的点Z(a,b)Z(a,b)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-803">Z(a,b)</script>和向量OZ−→−OZ→<script type="math/tex" id="MathJax-Element-804">\overrightarrow {OZ}</script>有着一一对应的关系。所以复数zz<script type="math/tex" id="MathJax-Element-805">z</script>和向量OZ−→− $\stackrel{\to }{OZ}$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-806">\overrightarrow{OZ}</script>有着一一对应的关系。
复数的模我们定义为对应向量的模。
也就是|z|=a2+b2−−−−−−√|z|=a2+b2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-807">|z|=\sqrt{a^2+b^2}</script>
关于复数的模，有如下的基本性质。

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-808">(1)z\overline z=|z|^2=|\overline z|^2</script>;
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-809">(2)||z_1|-||z_2|\leq |z_1\pm z_2|\leq |z_1|+|z_2|</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-810">(3)|z|\ge max\{|Re(z)|,|Im(z)|\}</script>

例题

已知复数z1=(m−3)+(m−1)i,z2=(2m−5)+(m2+m−2)iz1=(m−3)+(m−1)i,z2=(2m−5)+(m2+m−2)i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1142">z_1=(m-3)+(m-1)i,z_2=(2m-5)+(m^2+m-2)i</script>，且z1>z2¯¯¯¯¯z1>z2¯<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1143">z_1>\overline {z_2}</script>，试求实数mm<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1144">m</script>的值。

解

由z1>z2¯¯¯¯¯ $z_1>\overline{z_2}$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1132">z_1>\overline {z_2}</script>可知，z1z1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1133">z_1</script>、z2¯¯¯¯¯z2¯<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1134">\overline{z_2}</script>都是实数。
也就是有：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1135"> \left\{ \begin{array}{c} m-1=0\\ -(m^2+m-2)=0 \end{array} \right. </script>
解得m=1m=1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1136">m=1</script>
因为z1>z2¯¯¯¯¯z1>z2¯<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1137">z_1>\overline{z_2}</script>，所以m−3<2m−5m−3<2m−5<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1138">m-3<2m-5</script>，也就是m<2m<2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1139">m<2</script>.
m=1m=1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1140">m=1</script>适合m<2m<2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1141">m<2</script>。