稀疏子空间聚类（Sparse Subspace Clustering, SSC）是一种处理高维数据的聚类方法，特别适用于当数据分布在多个低维子空间上的情况。

SSC 利用了稀疏表示的概念来估计数据点之间的关系，并以此构建相似度矩阵，最终通过谱聚类技术将数据点分配到各自的子空间中。

稀疏子空间聚类 (SSC)

基本概念

假设有一组数据点集合 ，其中 是高维空间中的点。

这些点分布在 个低维子空间上，每个子空间的维数远小于数据点的原始维度，即 。

稀疏表示

稀疏表示是指在给定的字典中，使用尽可能少的非零元素来表示某个信号的过程。

在 SSC 中，这个“信号”就是数据点，而字典则是由数据集本身构成的。

换句话说，每个数据点都可以表示为其余数据点的加权和，权重向量称为稀疏表示系数。

SSC 的数学模型

对于数据点 ，我们寻找一个稀疏系数向量 ，使得 可以由其他数据点的线性组合来逼近，同时使

数学上，这个问题可以表示为以下优化问题：

其中：

• 是数据点组成的矩阵，
• 是第 个数据点的稀疏表示系数向量，
• 和
• 
• 表示不使用自身表示自身，避免了自循环。

相似度矩阵构建

一旦我们得到了所有数据点的稀疏表示系数 ，我们可以构建一个相似度矩阵

通常， 可以定义为

这里

谱聚类

有了相似度矩阵 ，接下来的步骤是使用谱聚类来将数据点聚类到各自的子空间中。

谱聚类首先会构建图拉普拉斯矩阵 ，然后计算其特征向量，并通过 K-means 或其他聚类算法将特征向量聚类。

其中 是度矩阵，其对角线元素是

总结

SSC 的目标公式可以概括为上述的稀疏表示问题，它通过寻找稀疏系数矩阵来揭示数据点之间的内在子空间结构。

通过谱聚类，SSC 最终将数据点划分到它们所属的子空间中，即使在高维和噪声环境下也能保持良好的性能。

请注意，实际应用中，求解稀疏表示问题可能需要使用特定的优化算法，例如基追踪（Basis Pursuit）、正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit）或交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）。