透彻理解泰勒级数（Taylor Series）

笔记来源于：3Blue1Brown

1.概览

在 $x=0$ 处如何使用二次多项式来近似 $cos(x)$ 的函数图像

概览：

假设多项式函数为：
$$P(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2$$
$c_0$负责让多项式函数在 $x=0$ 处的值和 $cos(0)$ 一致

$c_1$负责让二者的一阶导数相一致

$c_2$负责让二者的二阶导数相一致

2.详解多项式函数在 $x=0$ 处对函数 $cos(x)$ 的近似

详细解释过程：

1.确定$c_0$

因为 $cos(0)=1$
所以 $P(0)=c_0=1$

$c_0$确定后，不管 $c_1$ 和 $c_2$ 取何值，$P(0)$依旧为 0

如果在 $x=0$ 时，我们让多项式函数的切线斜率与 $cos(x)$ 相等，则意味着多项式函数在 $x=0$ 附近的变化与函数 $cos(x)$ 一致

将$x=0$代入上式，得到多项式函数在 $x=0$ 处的斜率

常数 $c_1$ 掌控着多项式函数 $P(x)$ 在 $x=0$ 处导数的近似

接下来让 $c_1=0$ 多项式函数 $P(x)=1+0x+c_2{x}^2$

接下来确定 $c_2$，由于 $P(x)$ 在 $x=0$ 处的函数值和斜率分别被 $c_0$ 和 $c_1$ 定死了，所以当 $c_2$变化时，其实 $P(x)$ 的变动时有限制的

由于 $cos(x)$ 在 $x=0$ 附近是向下弯曲的，说明此时的二阶导数为负数

让多项式函数的二阶导数 $P(x)$ 和函数 $cos(x)$ 的二阶导数相等，以确保二者拥有共同的弯曲度

对多项式函数 $P(x)$ 求二阶导

令多项式函数 $P(x)$ 二阶导与函数 $cos(x)$ 在$x=0$ 处的二阶导相等，确保二者有共同的弯曲度

$$\begin{gathered} \frac{d^2(cos)}{d{x}^2}(0)=-cos(0)=-1 \\ \frac{d^{2}P}{d{x}^2}(x)=2c_2 \\ 2c_2=-1 \\ {c}_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

将 $c_2=-\frac{1}{2}$ 代入 $P(x)$

至此多项式函数$P(x)$中的系数 $c_0，c_1，c_2$都已确定
$$\begin{gathered} P(x)=1+0x+(-\frac{1}{2})x^2 \\ P(x)=1-\frac{1}{2}{x}^2 \end{gathered}$$

检验这个多项式函数近似的是否良好

3.增加高次幂项对函数 $cos(x)$ 进行近似

增加 $x^3$ 项：

我们让多项式函数在往上加几个更高次幂的项来近似更高阶导数

多项式函数 $P(x)$ 的三阶导数

函数 $cos(x)$ 的三阶导数

让多项式函数 $P(x)$ 的三阶导数与函数 $cos(x)$ 的三阶导数相等
$$\begin{gathered} \frac{d^3(cos)}{d{x}^3}(0)=sin(0)=0 \\ \frac{d^{3}P}{d{x}^3}(x)=3!c_3 \\ 3!c_3=0 \\ {c}_3=0 \end{gathered}$$

其实这里的 $P(x)$ 中 $1-\frac{1}{2}{x}^2$ 不仅仅是 $cos(x)$ 在 $x=0$ 处最佳的二次近似函数，同时也是同时也是最佳的三次近似函数

增加 $x^4$ 项：

让多项式函数 $P(x)$ 的四阶导数与函数 $cos(x)$ 的四阶导数相等
$$\begin{gathered} \frac{d^4(cos)}{d{x}^4}(0)=cos(0)=1 \\ \frac{d^{4}P}{d{x}^4}(x)=4!c_4 \\ 4!c_4=1 \\ {c}_4=\frac{1}{4!} \end{gathered}$$

将 $c_4=\frac{1}{4!}$ 代入多项式函数 $P(x)$

对高次项求导不影响低次项

多项式任意 $n$ 阶的导数在 $x=0$ 时的值都由唯一一个系数控制

4.多项式函数在其他点处对函数 $cos(x)$ 的近似

如果想用多项式估计一个不是 $x=0$ 附近的结果
假设我们用多项式估计 $x=\pi$ 附近的结果，就换成使用关于 $(x-\pi )$ 而不是 $x$ 的多项式

5.多项式系数与函数导数的关系

6.多项式中每项系数除以阶乘的原因

原因是要抵消掉对多阶求导时带来的系数的累乘

7.函数 $cos(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒多项式

8.函数 $e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒多项式

9.某函数在 $x=0$ 处的泰勒多项式

$x=0$时 $P(x)$ 的常数项与函数 $f(0)$ 的相等

$P(x)$的一次项，让它和函数 $f(x)$ 的斜率相等

$P(x)$的二次项，让它和函数 $f(x)$ 的斜率的变化率相等

以此类推

10.某函数在 $x=a$ 处的泰勒多项式

改变 $a$ 值就可调整多项式函数在 $x=a$ 点处近似 $x=a$ 处附近的原始函数

11.泰勒多项式中高次项的几何意义

图像所表示的函数其本身就是面积函数的导数

将原函数定义为 面积与变量 $x$ 的导数

如何下图中理解 Height=(斜率)(x-a)，详见本人博客第13章：线性化
将 $f^{\prime }(a)(x-a)$中$f"(a)$看作为增长因子，当 $x$ 变化 $x-a$ 时，函数变化 $f^{\prime }(a)(x-a)$

本身原函数是面积对变量 $x$ 的导数，所以再次求导为二阶导

12.泰勒多项式和泰勒级数的区别

泰勒多项式是有穷的
泰勒级数是无穷级数

13.某些函数在$x=a$处的泰勒多项式逼近函数真实值过程

函数$e^x$在$x=a$处的泰勒多项式

某函数在$x=a$处的泰勒多项式（限定区间）

函数$ln(x)$在 $x=1$ 处的泰勒多项式（限定区间 $x\in (0,2]$ ）

累加更多的项（超过限定的区间），并不能逼近一个值的级数，我们说它是发散的

14.泰勒级数的收敛半径

我们把在用来近似原始函数的那个点周围，能够让多项式收敛的最大取值范围称作这个泰勒级数的收敛半径