上一篇讲的贝叶斯不完全信息博弈的重点其实就是引入了type，以及作为common Knowlegde的概率分布。

推广

上篇直接将p视为1/2来算的，这次代p，整体思路是一样的：
type 1：

不完全信息古诺模型

回忆下：古诺模型
核心：单纯的产量竞争

案例1

市场中存在两个生产同样商品的企业{企业1，企业2}，其产量分别为$q_1,q_2$，市场上的总产量为$Q=q_1+q_2$，市场价格为P=16-Q（Q≤16），企业2的边际生产成本为4，即$C(q_2)=4q_2$,而企业1的边际成本为私有信息，但已知其概率分布：企业1以1/3的概率为低边际成本$C(q_1;L)=2q_1$，以2/3的概率为高边际成本$C(q_1;H)=6q_1$；

给定企业2的策略也就产量$q_2$，记参与人1的最优反应为$(q_1(L),q_1(H))$
1.对于低成本的类型来说，给定企业2的策略，企业1的最优反应为：
$$ma{x}_{q_1(L)}(16-q_1(L)-q_2)q_1(L)-2q_1(L)$$
二次方程求最值得到最优反应：
$$q_1(L)=\frac{14-q_2}{2}$$
2.对于高成本的类型来说，给定企业2的策略，企业1的最优反应为：
$$ma{x}_{q_1(L)}(16-q_1(L)-q_2)q_1(L)-6q_1(L)$$
二次方程求最值得到最优反应：
$$q_1(L)=\frac{10-q_2}{2}$$
3.给定参与人1的策略$(q_1(L),q_1(H))$,参与人2的最优反应为$q_2$:
$$ma{x}_{q_2}\frac{1}{3}[(16-q_1(L)-q_2)q_2-4q_2]+\frac{2}{3}[(16-q_1(H)-q_2)q_2-4q_2]$$
求最值得最优反应：
$$q_2=\frac{12-\frac{q_1(L)+2q_1(H)}{3}}{2}$$

则得到不完全信息古诺模型得最优反应函数得策略组合$((q_1^{\ast }(L),q_1^{\ast }(H)),q_2^{\ast })$为贝叶斯纳什均衡,也就是上述得到得三个最优解联立一下，就可以得到$q_2=\frac{38}{9}$，另两个值也能算出来。

下边，假如说已知企业1一定会选择低类型，那么可以找出纳什均衡$q_1(L)$的值为$\frac{16}{3}$大于不完全信息博弈，完全信息与不完全信息博弈相比，企业1会生产更少的商品。
为撒？因为在不完全信息下，企业1知道企业2会根据期望收益来指定产量，相比纯低成本，不完全信息又会使企业2向企业1成本高的方向偏移，所以相对来说企业2就会生产更多的产品从而获得更多的期望收益，而企业1也知道企业2会生产比完全信息时更多的产品，所以1就会相比完全信息生产少的产品（回忆下双寡头古诺模型的均衡，一个多了另一个会少）。反之，当企业1选择高类型时，同理。

普适案例

上边的案例都用特殊值代替了，这个假设$P(Q)=\alpha -Q$,企业2选$C_L$的概率为$\theta$，选$C_H$的概率为$1-\theta$,然后跟上边一样列式子，计算最优如下：


通过结果可以发现：相比完全信息，当企业2选择高成本时，会选择生产更多；低成本时会选择生产更少

不完全信息使得企业2相对来说有优势，企业1选择适中的产量。