解析延拓

解析延拓可以看作是扩大原函数定义域的一种数学方式，例如$f$函数扩张定义域至$g$函数，且$f$和$g$函数再同一定义域下的定义（值）不变。

使用代数集合语言表达为：设$A_0$为$A$的子集，$f$为$A_0$到$B$的映射，$g$为$A$到$B$的映射，$\forall x\in A_0$有$f(x)=g(x)$，则$g$为$f$的开拓，记为$f=g{|}_{A_0}$。

很熟悉的例子是：
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =1+r+r^2+...+r^n+...\\ S_n& =\frac{1}{r-1}(|r|<1)\\ \sum & {}_{i=0}^{+\infty }{r}^i=\frac{1}{r-1},(|r|<1)\end{array}$$
所得结论的右式就是左式的解析延拓。

伽马函数

$$\begin{array}{rl}\Gamma (s)=& {\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\\ =& {\int }_0^1{x}^{s-1}{e}^{-x}dx+{\int }_1^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\\ =& \Phi (s)+\Psi (s)\end{array}$$

方程递推式

$$\begin{array}{rl}\Gamma (s+1)=& \underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_0^A{x}^s{e}^{-x}dx\\ =& -x^s{e}^{-x}{|}_0^A+{\int }_0^A{e}^{-x}d{x}^s\\ =& -A^s{e}^{-A}+s{\int }_0^A{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\\ =& s\Gamma (s)\end{array}$$

• 若参数是正整数，那么：
  $$\begin{array}{rl}\Gamma (s+1)=& s\Gamma (s)\\ =& (s+1)s\ast ...\ast 2\ast 1\Gamma (1)\\ =& s!{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx\\ =& s!\end{array}$$
  可以看出对于非负整数，$\Gamma (n+1)=n!$。

• 当参数取零时：
  $$\begin{array}{rl}\Gamma (0)& ={\int }_0^{+\infty }{x}^{-1}{e}^{-x}dx\\ \underset{ϵ\to 0}{\lim }{\int }_{ϵ}^1{x}^{-1}{e}^{-x}dx& \ge \frac{1}{e}\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\int }_{ϵ}^1{x}^{-1}dx\\ & =\frac{1}{e}\underset{ϵ\to 0}{\lim }lnx{|}_{ϵ}^1\\ & =+\infty \end{array}$$

  所以得到伽马函数对负整数是没有定义的。

• 当参数取非整数时（以正数为例）：
  $$\begin{array}{rl}n<s& \le n+1\\ \Gamma (s+1)& =s\Gamma (s)\\ & =s(s-1)(s-n)\Gamma (s-n)\end{array}$$
  如果已知$\Gamma (s-n)$就可以算出$\Gamma (s)$的值。

综上来看，伽马函数是阶乘函数的推广。

可视化

使用mathematica可视化实数平面图像与复平面图像，其中复平面取值为绝对值所以图像在实部小于零的情况下不绝对严谨。

f[x_] := Gamma[x];
Plot[f[x], {x, -3, 5}]

g[x_, y_] := Abs[Gamma[1.0*x + 1.0*y*I]];
Plot3D[g[x, y], {x, -3, 5}, {y, -2, 2}]

证明$\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

证明方式多种多样，这里暂时先给出一个例子

正态分布相关联：

正态分布是一类重要的分布，概率密度函数为：
$$f_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$$
为了更进一步地观察，将概率密度函数求积分：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=1$$
接下来取$\mu =0$，$\sigma =1$并使得积分对称得到：
$$2{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi }$$
之后利用换元法$u=\frac{x^2}{2}$发现$dx=\frac{du}{\sqrt{2u}}$，带入上式：
$$\sqrt{2}{\int }_0^{+\infty }{u}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-u}dx=\sqrt{2\pi }$$
最终得到：
$${\int }_0^{+\infty }{u}^{\frac{1}{2}-1}{e}^{-u}dx=\sqrt{\pi }$$
可以发现等式左边的积分项为$\Gamma (\frac{1}{2})$。