第一节、导数与微分

一、（一）导数概念

定义1

定理：可导

考点：分段函数分界点

（二）微分概念

微分是A△x，就是函数改变量的线性主部

（三）几何意义

f'(x)是切线斜率=tanx

△y是的曲线的改变量

dy是直线的改变量

解读：用切线改变量，代替曲线改变量（更容易算了）

（四）连续、可导、可微之间的关系

（五）求导公式

（六）求导法则

（2）复合函数求导法

（3）隐函数求导法

y=y（x）是由方程F（x,y）=0所确定

则F（x,y）=0，两边对x求导，得到y'的方程，解出y

【注】隐函数求导公式（在后面的多元微分有出现）

（4）反函数的导数

（5）参数方程求导法

隐函数与参数方程求导，直接代公式（因为直接做很复杂）

（6）对数求导法

在哪用？多因式的乘除、乘幂，或者幂指函数

怎么做？可以把函数取对数，然后两边对x求导

（7）高阶导数

对4）可以联系二项式展开

二、常考题型

题型一、导数与微分的概念

什么时候用排除法？
如果出现了一般函数（只告诉了这个函数满足什么条件，没有给出具体表达式）
用具体函数代替，说明选项的错误然后排除

【eg3】

【eg4】

（二）利用导数定义求导数

【eg2】【注】分段函数，在分界点处的导数，用定义求

（三）利用导数定义判定可导性

【eg3】

【eg5】

备注：1.如果不加任何条件，f(x)和|f(x)|可导性毫无关系。
2.如果f(x)连续
1）那么除了f(x)=0点的地方，无论加不加绝对值，可导情况都一样，
因为绝对值只是把图像根据X轴，往上对折了，当然一样，原来什么趋势，对折后也一样
2）在f(x)=0的地方，切线平行于x轴，往上对折的时候，左右导数才一样大。
如果不平行，往上对折，会出现尖点，尖点不可导

【eg7】2）

可导可微的函数f(x)，必定连续，
但是f(x)的导函数f'(x)不一定连续。（也就是无关）
所以不明确的（一般函数）函数不能直接求导，
因为求导后谁都不知道连续不连续。（只能用定义了。）

题型二、导数的几何意义

【eg3】直角坐标系和极坐标转化，

【eg4】【注】若两曲线相切，则在切点处函数值相等且导数值相等

（四）反函数求导法

反函数里面的值是y，不是x！要通过y=？来求x=？

（六）高阶导数

常用方法：

1）代公式；

2）求一阶y'、二阶y"，归纳n阶导数

3）利用泰勒级数（或泰勒公式）（具体点的N阶导）

第二节、导数应用

一、（一）微分中值定理（连接函数和导数的桥梁）

1.罗尔定理

2.拉格朗日定理（基本可以看做无条件成立，这两个条件一般都满足）

3.柯西中值定理

4.泰勒定理

（1）拉格朗日余项

（2）佩亚诺余项

（3）麦克劳林公式（当x0=0的泰勒公式）

（二）极值与最值

1.极值的概念

【注】（1）端点x=a,x=b处不可能取得极值

2.极值的必要条件（极值能推出什么？）

驻点：导数=0的点

有导数的话，极值点必为驻点，但驻点并不一定是极值点

【eg1】设f（x）在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f（x0）=0.

没有导数的话，极值点和驻点没有关系

【eg1】y=|x|，在x=0时，极值，但没有导数（极值，没有导数，推不出，驻点）
【eg2】y=x^3，在x=0时，导数y'=3x^2=0，是驻点，但不是极值（驻点，有导数，推不出，极值）

3.极值的充分条件

1）第一充分条件

只要导数=0（驻点），或者在x0处连续（导数不存在的点）

（1）+（2）x0点的左右两端，导数变号，x0就是极值点。

（3）x0点的左右两端，导数不变，x0不是极值点。

2）第二充分条件

一阶导=0

二阶导！=0

3）第三充分条件

佩亚诺余项的泰勒公式，导数是局部区间，这个是用在局部泰勒上

4.函数的最值

求出f（x）的驻点、不可导点、区间端点a,b处的函数值，

然后比较以上各点函数值

如果是应用题，需要建立目标函数f(x)。

（三）曲线的凹向与拐点

1.凹凸性判定

2.曲线的拐点（极值的条件都抬高一阶，就对了）

左右凹凸性相反

（四）曲线的渐近线

1.水平渐近线

x趋无穷，极限y存在

最多两条，一个负无穷，一个正无穷

2.垂直渐近线

x趋无意义点，极限y趋无穷

3.斜渐近线

在x正一侧，或x负一侧，斜渐近线和水平渐近线互斥，有这个没那个

（五）平面曲线的曲率

2.曲率的计算

1）若曲线由直角坐标方程y=y（x）

二、常考题型的方法与技巧

题型一、函数的单调性、极值与最值

【eg3】【eg4】【eg5】

二阶可导（未知连续与否），不等于，二阶导数连续
二阶可导不连续=二阶导数有间断，也就是导函数没有极限值
就是说，一阶导数的时候就不能洛必达，成为二阶导数，因为极限不存在，不满足洛的条件
只能用定义
二阶可导连续=二阶导数有极限值（可以洛必达）

题型二、曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率

【eg2】有参数方程t的时候，求极值/拐点，

写对应区间时，x和t的区间，不一定是一个方向，
需要先，x对t求导，
x对t导数>0，t增加x增加
x对t导数<0，t增加x减小

【eg5】

判断有无水平渐近线：

x→负无穷，极限是否→有限值

x→正无穷，极限是否→有限值

判断有无铅直渐近线：x→有限值+/-，极限是否→无穷

题型三、方程的根的存在性及个数

1.说明根的存在性（根存不存在）

方法1：零点定理

作出辅助函数f(x)=0，然后找左右异号，去满足零点定理

方法2：罗尔定理

找辅助函数f(x)=0的原函数F(x)=0，最后得到F'(ξ)=f(ξ)=0【ξ∈某区间】

2.根的个数（至少有一个，但要求有几个）

方法1：单调性（在单调区间内，最多有一个根）

方法2：罗尔定理推论：

若在区间I上

最多】n个实根（重点最多！）

例题总结：

【eg2】讨论根的个数（没有范围的找出定义区间）

1.找出严格单调区间（每个单调区间最多一个根） 求导f(x)得到f'(x)，令他=0，得到驻点（是单调区间的端点）
2.算出区间左右端点值的正负号，异号就有一个根，不异号就没根

【eg3】如果端点的正负不好算，找一个附近的好算的点

【eg4】如果无法判断单调性，那就代值（整数-1/0/1），得到对应的正负值，然后用零点定理，得到至少有多少个根。（还差最多有多少根）

【eg5】带有参数的方程根的问题，求驻点，有参数，第一步将参数分离出来

【eg8】不给方程，只给某点的值，一阶导数值，二阶导数值。马上用泰勒公式展开。

题型四、证明函数不等式

1）单调性（在下面）

2）最大最小值（找最大值，自然有最大值大于其他值）

3）拉格朗日中值定理（一般是无条件成立的，所以随便用）

4）泰勒公式（不给具体式子，但给了具体点的值、和导数值，然后适当放大缩小）

5）凹凸性（在下面）

例题总结：

【eg1】基本不等式

单调性：在(a,b)区间上，根据题意，作辅助函数f(x)
（1）在(a,b)区间上，f(a)=0（左端），求得导数f'(x)>0，f(x)单调增，得到f(x)>0
（2）在(a,b)区间上，f(b)=0（右端），求得导数f'(x)<0，f(x)单调减，得到f(x)>0

【eg5】凹凸性

（1）由f''(x)>0，曲线y=f(x)是凹的，曲线>切线

（2）凹凸性定义

题型五、微分中值定理有关的证明题（重点难点）

PS：出现导数中值，一般用微分中值定理

（一）证明单中值

1.分析法（还原法）（略）

2.微分方程法

例题总结：

【eg1】构造f(x)=0，如果有未知数在分母上，不好用分析法，一般去掉分母（乘上去）

【eg2】【eg3】辅助函数构造方法

（二）证明双中值

例题总结：写出对应中值定理，然后凑成需要的形式就行

（三）证明单中值（高阶导数用泰勒）

【eg2】有无导数的点和有导数的点，有导数的点优先作为x0泰勒展开

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