曲面表面积泛函定解问题

定义在$\Omega =[0,1]\times [0,1]$ 区域上的光滑曲面 $v(x,y)$，在边界取值为0. 那么(1)请写出泛函$J(v)$，用于表示该曲面的表面积，并给出其允许函数类$M$，从而使得泛函有定义。(2)若$u\in C^2(\overline{\Omega })$，请求解出与$J(u)=mi{n}_{M}J(v)$等价的偏微分方程定解问题。(3)请给出这个定解问题的解。

解：

(1) 首先，我们需要写出表示曲面$v(x,y)$表面积的泛函$J(v)$。曲面的表面积可以通过如下积分给出：

$J(v)={\int }_{\Omega }\sqrt{1+{\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)}^2}dxdy$

允许函数类$M$可以定义为：

M={v∈H1(Ω) ∣ v∣∂Ω=0}M = \{v \in H^1(\Omega) \,|\, v|_{\partial\Omega} = 0\}M={v∈H1(Ω)∣v∣∂Ω​=0}

其中$H^1(\Omega )$是Sobolev空间，表示在$\Omega$上的函数$v$和其一阶偏导数都是平方可积的。边界条件$v{|}_{\partial \Omega }=0$确保了$v$在边界上取值为0。

(2) 要求解与$J(u)={\min }_{M}J(v)$等价的偏微分方程定解问题，我们需要使用变分法。首先，令$J(u)$关于$u$的变分为0，即

$\delta J(u)=0$

这将导出Euler-Lagrange方程：

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=0$

其中，$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$，$u_y=\frac{\partial u}{\partial y}$。结合边界条件$u{|}_{\partial \Omega }=0$，我们得到偏微分方程定解问题：

$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=0,& \text{in }\Omega \\ u=0,& \text{on }\partial \Omega \end{array}$

(3) 对于这个特定的问题，解析解是比较困难的，因为它是一个非线性偏微分方程。但是，我们可以观察到平面$u(x,y)=0$是该方程的一个平凡解。在一些特定的情况下，可能存在其他非平凡的解，但是通常需要数值方法来求解。对于这个问题，我们可以使用有限元方法、有限差分方法或其他数值方法来近似求解。在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的数值方法是很重要的。

变分问题边值问题的导出 ${\mathbb{R}}^3$区域

设$\Omega$是${\mathbb{R}}^3$中的有界开区域，$\Gamma$是$\Omega$的光滑边界。
$\Omega$上定义的泛函为$J(v)={\iiint }_{\Omega }\frac{1}{2}[(\frac{\partial v}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial v}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial v}{\partial z}{)}^2]dxdydz+{\iint }_{\Gamma }(\frac{1}{2}\sigma v^2-gv)ds$，$V=C^2(\Omega )\cap C^1(\overline{\Omega })$，变分问题的描述为：求$u\in V$，使得$J(u)=mi{n}_{v\in V}J(v)$。请导出与这个变分问题等价的边值问题。

解：

要导出与给定变分问题等价的边值问题，我们可以使用变分法的基本原理。首先，我们需要计算泛函 $J(v)$ 的一阶变分，然后将其等于零。这将导致一个欧拉-拉格朗日方程，它是一个偏微分方程，与原始的变分问题等价。

给定的泛函是：
$J(v)={\iiint }_{\Omega }\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)}^2\right]dxdydz+{\iint }_{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\sigma v^2-gv\right)ds$

对于任意 $v\in V$ 和 $w\in V$，考虑泛函 $J(v+ϵw)$，其中 $ϵ$ 是一个小参数。$J(v)$ 在 $v$ 处取得最小值意味着 $\frac{d}{dϵ}J(v+ϵw){|}_{ϵ=0}=0$ 对于所有 $w\in V$ 成立。

计算一阶变分：

$$\begin{gathered} \delta J(v;w)=\frac{d}{dϵ}J(v+ϵw){|}_{ϵ=0} \\ ={\iiint }_{\Omega }\left[\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial z}\right]dxdydz+{\iint }_{\Gamma }(\sigma vw-gw)ds \end{gathered}$$

使用分部积分和散度定理，我们可以将体积积分中的项转换为边界项和包含二阶导数的项。对于 $\Omega$ 中的任意 $w$，我们有：

${\iiint }_{\Omega }\nabla v\cdot \nabla wdxdydz=-{\iiint }_{\Omega }w\Delta vdxdydz+{\iint }_{\Gamma }w\frac{\partial v}{\partial n}ds$

其中 $\Delta v=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial z^2}$ 是拉普拉斯算子，$\frac{\partial v}{\partial n}$ 是 $v$ 沿着外法向 $n$ 的导数。

将这个表达式代入 $\delta J(v;w)$，我们得到：

$\delta J(v;w)=-{\iiint }_{\Omega }w\Delta vdxdydz+{\iint }_{\Gamma }w\left(\frac{\partial v}{\partial n}+\sigma v-g\right)ds$

由于 $\delta J(v;w)=0$ 对于所有 $w\in V$ 成立，我们得到以下等价的边值问题：

1. 在 $\Omega$ 中：$\Delta v=0$ （泊松方程）
2. 在 $\Gamma$ 上：$\frac{\partial v}{\partial n}+\sigma v=g$ （诺伊曼边界条件）

因此，与原始变分问题等价的边值问题是求解上述泊松方程，满足给定的诺伊曼边界条件。

变分问题边值问题的导出 ${\mathbb{R}}^2$区域

设$\Omega$是${\mathbb{R}}^2$中的有界开区域，$\Gamma$是$\Omega$的光滑边界。
$\Omega$上定义的泛函为$J(v)={\iint }_{\Omega }\frac{1}{2}[(\frac{\partial v}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial v}{\partial y}{)}^2]dxdy+{\int }_{\Gamma }(\frac{1}{2}\sigma v^2-gv)ds$，
$V=C^2(\Omega )\cap C^1(\overline{\Omega })$，变分问题的描述为：求$u\in V$，使得$J(u)=mi{n}_{v\in V}J(v)$。请导出与这个变分问题等价的边值问题。

解：

这个问题可以通过求解泛函 $J(v)$ 的极值来求解，这可以通过求解相应的欧拉-拉格朗日方程来完成。

泛函的一阶变分为：

$$\delta J(v)={\iint }_{\Omega }\left(\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial (\delta v)}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial (\delta v)}{\partial y}\right)dxdy+{\int }_{\Gamma }(\sigma v-g)\delta vds$$

令 $\delta J(v)=0$ 对所有的 $\delta v\in V$，我们得到：

$${\iint }_{\Omega }\left(\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial (\delta v)}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial (\delta v)}{\partial y}\right)dxdy+{\int }_{\Gamma }\sigma v\delta vds={\int }_{\Gamma }g\delta vds$$

通过分部积分和格林公式，我们可以将上述方程转换为：

$$-{\iint }_{\Omega }(\Delta v)\delta vdxdy+{\int }_{\Gamma }\left(\frac{\partial v}{\partial n}+\sigma v\right)\delta vds={\int }_{\Gamma }g\delta vds$$

其中 $\Delta v=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}$ 是拉普拉斯算子，$\frac{\partial v}{\partial n}$ 是 $v$ 沿边界 $\Gamma$ 的法向导数。

因此，与原始变分问题等价的边值问题为：

$$\{\begin{array}{ll}-\Delta u=0& \text{in }\Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u=g& \text{on }\Gamma .\end{array}$$

这是一个定义在区域 $\Omega$ 上的带有诺依曼边界条件的泊松方程。